Λογάριθμος

Οι λογάριθμοι χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά στην Ινδία τον 2ο αιώνα π.Χ. Ο πρώτος που χρησιμοποίησε λογάριθμους στη σύγχρονη εποχή ήταν ο Γερμανός μαθηματικός Michael Stifel (περίπου 1487-1567). Το 1544 κατέγραψε τις ακόλουθες εξισώσεις: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{n}=q^{m+n}} και q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}}} Αυτή είναι η βάση για την κατανόηση των λογαρίθμων. Για τον Stifel, το m {\displaystyle m} και το n {\displaystyle n} έπρεπε να είναι ακέραιοι αριθμοί. Ο John Napier (1550-1617) δεν ήθελε αυτόν τον περιορισμό και ήθελε ένα εύρος για τους εκθέτες.

Σύμφωνα με τον Napier, οι λογάριθμοι εκφράζουν αναλογίες: το a {\displaystyle a} έχει την ίδια αναλογία με το b {\displaystyle b} , όπως και το c {\displaystyle c} με το d {\displaystyle d} αν η διαφορά των λογαρίθμων τους ταιριάζει. Μαθηματικά: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} . Στην αρχή χρησιμοποιήθηκε η βάση e (παρόλο που ο αριθμός δεν είχε ακόμη ονομαστεί). Ο Henry Briggs πρότεινε να χρησιμοποιηθεί το 10 ως βάση για τους λογαρίθμους, οι οποίοι είναι πολύ χρήσιμοι στην αστρονομία.

Ένας λογάριθμος λέει ποιος εκθέτης (ή δύναμη) χρειάζεται για να γίνει ένας συγκεκριμένος αριθμός, οπότε οι λογάριθμοι είναι το αντίστροφο (αντίθετο) του εκθετικοποίησης.

Ακριβώς όπως η εκθετική συνάρτηση έχει τρία μέρη, έτσι και ο λογάριθμος έχει τρία μέρη. Τα τρία μέρη ενός λογαρίθμου είναι μια βάση, ένα επιχείρημα και μια απάντηση (που ονομάζεται επίσης δύναμη).

Πρόκειται για εκθετική συνάρτηση:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ }

Σε αυτή τη συνάρτηση, η βάση είναι το 2, το όρισμα είναι το 3 και η απάντηση είναι το 8.

Αυτή η εκθετική συνάρτηση έχει ένα αντίστροφο, τον λογάριθμό της:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ }

Σε αυτόν τον λογάριθμο, η βάση είναι το 2, το επιχείρημα είναι το 8 και η απάντηση είναι το 3.

Η πρόσθεση έχει μια αντίστροφη πράξη: την αφαίρεση. Επίσης, ο πολλαπλασιασμός έχει μια αντίστροφη πράξη: τη διαίρεση. Επομένως, μπορεί να είναι δύσκολο να καταλάβετε γιατί ο πολλαπλασιασμός έχει στην πραγματικότητα δύο αντίστροφες πράξεις: Γιατί χρειαζόμαστε τον λογάριθμο αφού υπάρχει ήδη η ρίζα; Αυτό συμβαίνει επειδή ο εκθετικός πολλαπλασιασμός δεν είναι αντιμεταθετικός.

Το ακόλουθο παράδειγμα το απεικονίζει αυτό:

• Αν έχετε x+2=3, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την αφαίρεση για να βρείτε ότι x=3-2. Το ίδιο ισχύει και αν έχετε 2+x=3: Μπορείτε επίσης να βρείτε x=3-2. Αυτό συμβαίνει επειδή το x+2 είναι το ίδιο με το 2+x.
• Αν έχετε x - 2=3, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη διαίρεση για να βρείτε ότι x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Το ίδιο ισχύει και αν έχετε 2 - x=3: Θα έχετε επίσης x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} . Αυτό συμβαίνει επειδή το x - 2 είναι το ίδιο με το 2 - x.
• Αν έχετε x²=3, τότε χρησιμοποιείτε τη (τετραγωνική) ρίζα για να βρείτε το x: Παίρνετε το αποτέλεσμα x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} . Ωστόσο, αν έχετε 2^x =3, τότε δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη ρίζα για να βρείτε το x. Αντίθετα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον (δυαδικό) λογάριθμο για να βρείτε το x: Παίρνετε το αποτέλεσμα x=log₂(3).
  Αυτό συμβαίνει επειδή το 2 ^xσυνήθως δεν ταυτίζεται με το x ²(για παράδειγμα, 2 ⁵=32 αλλά 5²=25).

Οι λογάριθμοι μπορούν να διευκολύνουν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση μεγάλων αριθμών, επειδή η πρόσθεση λογαρίθμων είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό και η αφαίρεση λογαρίθμων είναι το ίδιο με τη διαίρεση.

Πριν γίνουν δημοφιλείς και διαδεδομένες οι αριθμομηχανές, οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν πίνακες λογαρίθμων σε βιβλία για να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν. Οι ίδιες πληροφορίες σε έναν πίνακα λογαρίθμων ήταν διαθέσιμες σε έναν slide rule, ένα εργαλείο με γραμμένους λογαρίθμους.

• Οι λογαριθμικές σπείρες είναι κοινές στη φύση. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το κέλυφος ενός ναυτίλου ή τη διάταξη των σπόρων σε έναν ηλίανθο.
• Στη χημεία, το αρνητικό του λογαρίθμου βάσης 10 της δραστικότητας των ιόντων υδρονίου (H₃O ⁺, η μορφή ⁺που παίρνει το H στο νερό) είναι το μέτρο που είναι γνωστό ως pH. Η δραστικότητα των ιόντων υδρονίου σε ουδέτερο νερό είναι 10 ⁻⁷mol/L στους 25 °C, άρα το pH είναι 7. (Αυτό είναι αποτέλεσμα του ότι η σταθερά ισορροπίας, το γινόμενο της συγκέντρωσης των ιόντων υδρονίου και των ιόντων υδροξυλίου, στα υδατικά διαλύματα είναι 10 ⁻¹⁴M²).
• Η κλίμακα Ρίχτερ μετρά την ένταση των σεισμών σε λογαριθμική κλίμακα βάσης 10.
• Στην αστρονομία, το φαινόμενο μέγεθος μετρά τη φωτεινότητα των αστέρων λογαριθμικά, δεδομένου ότι το μάτι ανταποκρίνεται επίσης λογαριθμικά στη φωτεινότητα.
• Τα μουσικά διαστήματα μετρώνται λογαριθμικά ως ημιτόνια. Το διάστημα μεταξύ δύο νοτών σε ημιτόνια είναι ο λογάριθμος της βάσης 2^1/12 του λόγου συχνοτήτων (ή ισοδύναμα, 12 φορές ο λογάριθμος της βάσης 2). Οι κλασματικοί ημιτόνοι χρησιμοποιούνται για μη ίσες ιδιοσυγκρασίες. Ειδικά για τη μέτρηση των αποκλίσεων από την ισόβαθμη κλίμακα, τα διαστήματα εκφράζονται επίσης σε σεντς (εκατοστά ενός ισόβαθμου ημιτόνου). Το διάστημα μεταξύ δύο νοτών σε σεντς είναι ο λογάριθμος της βάσης 2^1/1200 του λόγου συχνοτήτων (ή 1200 φορές ο λογάριθμος της βάσης 2). Στο MIDI, οι νότες αριθμούνται στην ημιτονική κλίμακα (λογαριθμικό απόλυτο ονομαστικό ύψος με το μεσαίο C στο 60). Για τον μικροσυντονισμό σε άλλα συστήματα συντονισμού, ορίζεται μια λογαριθμική κλίμακα που συμπληρώνει τις περιοχές μεταξύ των ημιτόνων της κλίμακας ίσης μετριασμένης με συμβατό τρόπο. Η κλίμακα αυτή αντιστοιχεί στους αριθμούς των νοτών για ολόκληρους ημιτόνους. (βλέπε μικροσυντονισμός στο MIDI).

Οι λογάριθμοι με βάση το 10 ονομάζονται κοινοί λογάριθμοι. Συνήθως γράφονται χωρίς τη βάση. Για παράδειγμα:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ }

Αυτό σημαίνει:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{2}=100\ }

Οι λογάριθμοι στη βάση e ονομάζονται φυσικοί λογάριθμοι. Ο αριθμός e είναι σχεδόν 2,71828 και ονομάζεται επίσης σταθερά του Euler από τον μαθηματικό Leonhard Euler.

Οι φυσικοί λογάριθμοι μπορούν να πάρουν τα σύμβολα log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} ή ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,}

Ορισμένοι συγγραφείς προτιμούν τη χρήση των φυσικών λογαρίθμων ως log ( x ) {\displaystyle \log(x)} αλλά συνήθως το αναφέρουν αυτό στις σελίδες προλόγου.

Οι λογάριθμοι έχουν πολλές ιδιότητες. Για παράδειγμα:

Ιδιότητες από τον ορισμό του λογαρίθμου

Αυτή η ιδιότητα προκύπτει κατευθείαν από τον ορισμό του λογαρίθμου:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} Για παράδειγμα

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3} , και

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1} επειδή 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}}} .

Ο λογάριθμος στη βάση b ενός αριθμού a είναι το ίδιο με τον λογάριθμο του a διαιρεμένο με τον λογάριθμο του b. Δηλαδή,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}

Για παράδειγμα, έστω α 6 και β 2. Με αριθμομηχανές μπορούμε να δείξουμε ότι αυτό είναι αλήθεια ή τουλάχιστον πολύ κοντά:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962}

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970}

Τα αποτελέσματά μας είχαν ένα μικρό σφάλμα, αλλά αυτό οφειλόταν στη στρογγυλοποίηση των αριθμών.

Επειδή είναι δύσκολο να φανταστούμε τον φυσικό λογάριθμο, βρίσκουμε ότι, σε όρους λογαρίθμου βάσης δέκα:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}} Όπου 0.434294 είναι μια προσέγγιση για τον λογάριθμο του e.

Πράξεις μέσα σε ορίσματα λογαρίθμου

Οι λογάριθμοι που πολλαπλασιάζονται μέσα στο όρισμά τους μπορούν να τροποποιηθούν ως εξής:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}

Για παράδειγμα,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3}

Το ίδιο ισχύει και για τη διαίρεση, αλλά με αφαίρεση αντί για πρόσθεση, επειδή είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)}

Πίνακες λογαρίθμων, διαφανείς κανόνες και ιστορικές εφαρμογές

Πριν από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνταν καθημερινά από τους επιστήμονες. Οι λογάριθμοι βοήθησαν τους επιστήμονες και τους μηχανικούς σε πολλούς τομείς, όπως η αστρονομία.

Πριν από τους υπολογιστές, ο πίνακας των λογαρίθμων ήταν ένα σημαντικό εργαλείο. Το 1617, ο Henry Briggs τύπωσε τον πρώτο πίνακα λογαρίθμων. Αυτό έγινε λίγο μετά τη βασική εφεύρεση του Νάπιερ. Αργότερα, οι άνθρωποι κατασκεύασαν πίνακες με καλύτερη εμβέλεια και ακρίβεια. Αυτοί οι πίνακες απαριθμούσαν τις τιμές των log_b (x) και b^x για κάθε αριθμό x σε ένα συγκεκριμένο εύρος, με μια συγκεκριμένη ακρίβεια, για μια συγκεκριμένη βάση b (συνήθως b = 10). Για παράδειγμα, ο πρώτος πίνακας του Briggs περιείχε τους κοινούς λογαρίθμους όλων των ακεραίων αριθμών στην περιοχή 1-1000, με ακρίβεια 8 ψηφίων. Καθώς η συνάρτηση f(x) = b^x είναι η αντίστροφη συνάρτηση του log_b (x), έχει ονομαστεί αντιλογάριθμος. Οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν αυτούς τους πίνακες για να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν αριθμούς. Για παράδειγμα, ένας χρήστης έψαχνε τον λογάριθμο στον πίνακα για κάθε έναν από δύο θετικούς αριθμούς. Η πρόσθεση των αριθμών από τον πίνακα θα έδινε τον λογάριθμο του γινομένου. Η λειτουργία αντιλογάριθμου του πίνακα θα έβρισκε στη συνέχεια το γινόμενο με βάση τον λογάριθμό του.

Για χειροκίνητους υπολογισμούς που χρειάζονται ακρίβεια, η εκτέλεση της αναζήτησης των δύο λογαρίθμων, ο υπολογισμός του αθροίσματος ή της διαφοράς τους και η αναζήτηση του αντιλογάριθμου είναι πολύ πιο γρήγορη από την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού με προηγούμενους τρόπους.

Πολλοί πίνακες λογαρίθμων δίνουν λογαρίθμους παρέχοντας χωριστά τη χαρακτηριστική και τη μαντίσα του x, δηλαδή το ακέραιο μέρος και το κλασματικό μέρος του log₁₀ (x). Το χαρακτηριστικό του 10 - x είναι ένα συν το χαρακτηριστικό του x, και οι σημαινόμενοι τους είναι οι ίδιοι. Αυτό επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής των πινάκων λογαρίθμων: δεδομένου ενός πίνακα που παραθέτει το log₁₀(x) για όλους τους ακέραιους x που κυμαίνονται από το 1 έως το 1000, ο λογάριθμος του 3542 προσεγγίζεται από τη σχέση

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,}

Μια άλλη κρίσιμη εφαρμογή ήταν ο κανόνας διαφάνειας, ένα ζεύγος λογαριθμικά διαιρεμένων κλιμάκων που χρησιμοποιούνταν για υπολογισμούς, όπως απεικονίζεται εδώ:

Οι αριθμοί σημειώνονται σε ολισθαίνουσες κλίμακες σε αποστάσεις ανάλογες με τις διαφορές μεταξύ των λογαρίθμων τους. Η κατάλληλη ολίσθηση της άνω κλίμακας ισοδυναμεί με μηχανική πρόσθεση των λογαρίθμων. Για παράδειγμα, η πρόσθεση της απόστασης από το 1 στο 2 στην κάτω κλίμακα στην απόσταση από το 1 στο 3 στην άνω κλίμακα δίνει ένα γινόμενο 6, το οποίο διαβάζεται στο κάτω μέρος. Πολλοί μηχανικοί και επιστήμονες χρησιμοποιούσαν συρόμενους κανόνες μέχρι τη δεκαετία του 1970. Οι επιστήμονες μπορούν να εργαστούν γρηγορότερα με τη χρήση ενός slide rule από ό,τι με τη χρήση ενός πίνακα λογαρίθμων.