Congruence

Στη γεωμετρία, δύο σχήματα ή αντικείμενα είναι σύμφωνες αν έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος. Επίσης, αν το ένα έχει το ίδιο σχήμα και μέγεθος με το είδωλο του άλλου.

Πιο επίσημα, δύο σύνολα σημείων ονομάζονται συγγενή εάν, και μόνο εάν, το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με ισομετρία. Για την ισομετρία χρησιμοποιούνται άκαμπτες κινήσεις.

Αυτό σημαίνει ότι ένα αντικείμενο μπορεί να επανατοποθετηθεί και να αντανακλαστεί (αλλά όχι να αλλάξει το μέγεθός του) ώστε να συμπίπτει ακριβώς με το άλλο αντικείμενο. Έτσι, δύο ξεχωριστά επίπεδα σχήματα σε ένα κομμάτι χαρτί είναι σύμμορφα αν μπορούμε να τα κόψουμε και στη συνέχεια να τα ταιριάξουμε πλήρως. Η ανατροπή του χαρτιού επιτρέπεται.

Τα σύμμορφα πολύγωνα είναι πολύγωνα που αν διπλώσετε ένα κανονικό πολύγωνο στη μέση είναι σύμμορφο πολύγωνο.

Δύο γεωμετρικά σχήματα είναι σύμφωνα αν το ένα μπορεί να μετακινηθεί ή να περιστραφεί έτσι ώστε να ταιριάζει ακριβώς στο σημείο που βρίσκεται το άλλο. Εάν ένα από τα αντικείμενα πρέπει να αλλάξει το μέγεθός του, τα δύο αντικείμενα δεν είναι συγγραμμικά: απλά ονομάζονται παρόμοια.

Αν δύο σχήματα ή αντικείμενα είναι σύμφωνες, έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος, αλλά μπορούν να περιστραφούν, να μετακινηθούν, να απεικονιστούν (ανακλαστούν) ή να μεταφραστούν, έτσι ώστε να ταιριάζουν ακριβώς εκεί που είναι το άλλο.

Ένα παράδειγμα σύμπτωσης. Τα δύο τρίγωνα στα αριστερά είναι συγγραμμικά, ενώ το τρίτο είναι παρόμοιο με αυτά. Το τελευταίο τρίγωνο δεν είναι ούτε όμοιο ούτε σύμφωνο με κανένα από τα άλλα. Σημειώστε ότι η σύμπτωση επιτρέπει την αλλαγή ορισμένων ιδιοτήτων, όπως η θέση και ο προσανατολισμός, αλλά αφήνει άλλες αμετάβλητες, όπως η απόσταση και οι γωνίες. Οι αμετάβλητες ιδιότητες ονομάζονται αναλλοίωτες.Zoom
Ένα παράδειγμα σύμπτωσης. Τα δύο τρίγωνα στα αριστερά είναι συγγραμμικά, ενώ το τρίτο είναι παρόμοιο με αυτά. Το τελευταίο τρίγωνο δεν είναι ούτε όμοιο ούτε σύμφωνο με κανένα από τα άλλα. Σημειώστε ότι η σύμπτωση επιτρέπει την αλλαγή ορισμένων ιδιοτήτων, όπως η θέση και ο προσανατολισμός, αλλά αφήνει άλλες αμετάβλητες, όπως η απόσταση και οι γωνίες. Οι αμετάβλητες ιδιότητες ονομάζονται αναλλοίωτες.

Παραδείγματα

  • όλα τα τετράγωνα που έχουν το ίδιο μήκος των πλευρών τους είναι σύμμετρα.
  • όλα τα ισόπλευρα τρίγωνα που έχουν το ίδιο μήκος των πλευρών τους είναι σύμμετρα.

Δοκιμές για τη σύμπτωση

  • Δύο γωνίες και η πλευρά μεταξύ τους είναι ίδιες σε δύο τρίγωνα (ASA congruence)
  • Δύο γωνίες και μια πλευρά που δεν είναι μεταξύ τους είναι ίδιες και στα δύο τρίγωνα (AAS congruence)
  • Και οι τρεις πλευρές και των δύο τριγώνων είναι ίδιες (SSS congruence)
  • δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία καθιστούν 2 τρίγωνα συγγραμμικά (SAS congruence)

Πώς μπορούμε να πάρουμε νέα συγγραμμικά σχήματα;

Έχουμε αρκετές δυνατότητες, μερικούς κανόνες για να φτιάξουμε νέα σχήματα συμβατά με το αρχικό.

  • Αν μετατοπίσουμε ένα γεωμετρικό σχήμα στο επίπεδο, τότε παίρνουμε ένα σχήμα που είναι σύμφωνο με το αρχικό.
  • Εάν περιστρέψουμε αντί να μετατοπίσουμε, τότε θα έχουμε επίσης ένα σχήμα σύμφωνο με το αρχικό.
  • Ακόμα και αν πάρουμε μια κατοπτρική εικόνα του αρχικού σχήματος, πάλι θα έχουμε ένα σύμφωνο σχήμα.
  • Αν συνδυάσουμε τις τρεις δραστηριότητες τη μία μετά την άλλη, τότε εξακολουθούμε να έχουμε σύμμορφα σχήματα.
  • Δεν υπάρχουν άλλα σύμμορφα σχήματα. Πιο συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι αν ένα σχήμα είναι σύμφωνο με το αρχικό, τότε μπορεί να επιτευχθεί με τις τρεις δραστηριότητες που περιγράφονται παραπάνω.

Η σχέση ότι ένα σχήμα είναι σύμφωνο με ένα άλλο σχήμα έχει τρεις διάσημες ιδιότητες.

  • Αν αφήσουμε το αρχικό σχήμα στην αρχική του θέση, τότε είναι σύμφωνο με τον εαυτό του. Αυτή η συμπεριφορά, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αντανακλαστικότητα.

Για παράδειγμα, αν η παραπάνω μετατόπιση δεν είναι μια σωστή μετατόπιση, αλλά μόνο μια μετατόπιση που κάνει μια κίνηση μήκους μηδέν. Ή, ομοίως, αν η παραπάνω περιστροφή δεν είναι μια σωστή περιστροφή, αλλά μόνο μια περιστροφή με γωνία μηδέν.

  • Αν ένα σχήμα είναι σύμφωνο με ένα άλλο σχήμα, τότε αυτό το άλλο σχήμα είναι επίσης σύμφωνο με το αρχικό. Αυτή η συμπεριφορά, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται συμμετρία.

Για παράδειγμα, αν μετατοπίσουμε, περιστρέψουμε ή καθρεφτίσουμε το νέο σχήμα στο αρχικό, τότε το αρχικό σχήμα είναι σύμφωνο με το νέο.

  • Εάν ένα σχήμα Γ είναι σύμφωνο με ένα σχήμα Β και το σχήμα Β είναι σύμφωνο με το αρχικό σχήμα Α, τότε το σχήμα Γ είναι επίσης σύμφωνο με το αρχικό σχήμα Α. Αυτή η συμπεριφορά, αυτή η ιδιότητα ονομάζεται μεταβατικότητα.

Για παράδειγμα, αν εφαρμόσουμε πρώτα μια μετατόπιση και μετά μια περιστροφή, τότε το νέο σχήμα που προκύπτει εξακολουθεί να είναι σύμφωνο με το αρχικό.

Οι τρεις περίφημες ιδιότητες, η ανακλαστικότητα, η συμμετρία και η μεταβατικότητα, συνθέτουν την έννοια της ισοδυναμίας. Ως εκ τούτου, η ιδιότητα της σύμπτωσης είναι ένα είδος σχέσης ισοδυναμίας μεταξύ των σχημάτων ενός επιπέδου.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερώτηση: Τι σημαίνει ότι δύο σχήματα είναι σύμφωνες στη γεωμετρία;


A: Δύο σχήματα είναι συγγραμμικά στη γεωμετρία αν έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος ή αν το ένα έχει το ίδιο σχήμα και μέγεθος με το είδωλο του άλλου.

Ερ: Πώς δύο σύνολα σημείων ονομάζονται συγγραμμικά;


Α: Δύο σύνολα σημείων ονομάζονται συγγραμμικά εάν και μόνο εάν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με ισομετρία.

Ερ: Για ποιο λόγο χρησιμοποιούνται οι άκαμπτες κινήσεις στην ισομετρία;


Α: Οι άκαμπτες κινήσεις χρησιμοποιούνται στην ισομετρία για την επανατοποθέτηση, περιστροφή ή αντανάκλαση γεωμετρικών σχημάτων χωρίς αλλαγή μεγέθους, έτσι ώστε να συμπίπτουν ακριβώς με άλλα αντικείμενα.

Ερ: Μπορούν δύο σχήματα να είναι σύμμορφα αν το ένα από αυτά πρέπει να αλλάξει το μέγεθός του για να συμπέσει με το άλλο;


Α: Όχι, αν ένα από τα αντικείμενα πρέπει να αλλάξει το μέγεθός του για να συμπέσει με το άλλο, τότε τα δύο αντικείμενα δεν είναι συγγραμμικά, αλλά ονομάζονται παρόμοια.

Ερ: Τι μπορούμε να πούμε για τη σύμπτωση δύο διαφορετικών επίπεδων σχημάτων σε ένα κομμάτι χαρτί;


Α: Δύο διακριτά επίπεδα σχήματα σε ένα κομμάτι χαρτί είναι συγγραμμικά αν μπορούμε να τα κόψουμε και στη συνέχεια να τα ταιριάξουμε πλήρως, γυρίζοντας το χαρτί αν χρειαστεί.

Ερ: Τι είναι τα σύμμορφα πολύγωνα;


Α: Τα σύμμορφα πολύγωνα είναι πολύγωνα που μπορούν να διπλωθούν στη μέση για να σχηματίσουν ένα άλλο κανονικό πολύγωνο που είναι επίσης σύμμορφο.

Ερ: Ποιο είναι το κριτήριο για να χαρακτηριστούν δύο αντικείμενα συγγραμμικά στη γεωμετρία;


Α: Το κριτήριο για να λέγονται δύο αντικείμενα συγγραμμικά στη γεωμετρία είναι ότι το ένα αντικείμενο μπορεί να επανατοποθετηθεί, να περιστραφεί ή να ανακλαστεί έτσι ώστε να συμπίπτει ακριβώς με το άλλο αντικείμενο, χωρίς να αλλάξει το μέγεθός του.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3