Schwarzschild metric
Η μετρική Schwarzschild υπολογίστηκε από τον Karl Schwarzschild ως λύση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν το 1916. Γνωστή και ως λύση Schwarzschild, είναι μια εξίσωση της γενικής σχετικότητας στον τομέα της αστροφυσικής. Η μετρική αναφέρεται σε μια εξίσωση που περιγράφει τον χωροχρόνο- ειδικότερα, η μετρική Schwarzschild περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από μια μαύρη τρύπα Schwarzschild - μια μη περιστρεφόμενη, σφαιρική μαύρη τρύπα χωρίς μαγνητικό πεδίο και όπου η κοσμολογική σταθερά είναι μηδέν.
Πρόκειται ουσιαστικά για μια εξίσωση που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο ένα σωματίδιο κινείται στο χώρο κοντά σε μια μαύρη τρύπα.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Παραγωγή
Αν και μπορεί να βρεθεί ένας πιο περίπλοκος τρόπος υπολογισμού της μετρικής Schwarzschild χρησιμοποιώντας τα σύμβολα Christoffel, μπορεί επίσης να προκύψει χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις για την ταχύτητα διαφυγής ( v e {\displaystyle v_{e}}
), τη διαστολή του χρόνου (dt'), τη συστολή του μήκους (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {\2GM}{r}}}} 
(1)
v είναι η ταχύτητα του σωματιδίου
G είναι η βαρυτική σταθερά
M είναι η μάζα της μαύρης τρύπας
r είναι το πόσο κοντά βρίσκεται το σωματίδιο στο βαρύ αντικείμενο
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} 
(3)
dt' είναι η πραγματική μεταβολή του σωματιδίου στο χρόνο
dt είναι η μεταβολή του σωματιδίου στο χρόνο
dr' είναι η πραγματική απόσταση που διανύει
dr είναι η μεταβολή του σωματιδίου στην απόσταση
v είναι η ταχύτητα του σωματιδίου
c είναι η ταχύτητα του φωτός
Σημείωση: το πραγματικό χρονικό διάστημα και η πραγματική απόσταση που διανύει το σωματίδιο είναι διαφορετικά από το χρόνο και την απόσταση που υπολογίζονται στους υπολογισμούς της κλασικής φυσικής, αφού ταξιδεύει σε ένα τόσο βαρύ βαρυτικό πεδίο!
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για επίπεδο χωροχρόνο σε σφαιρικές συντεταγμένες:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(4)
ds είναι η διαδρομή του σωματιδίου
θ {\displaystyle \theta } 
είναι η γωνία
d θ {\displaystyle \theta } και d ϕ {\displaystyle \phi } 
είναι η μεταβολή των γωνιών
Εισαγωγή των εξισώσεων για την ταχύτητα διαφυγής, τη διαστολή του χρόνου και τη συστολή του μήκους (εξισώσεις 1, 2 και 3) στην εξίσωση για τον επίπεδο χωροχρόνο (εξίσωση 4), για να προκύψει η μετρική Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Από αυτή την εξίσωση μπορούμε να βγάλουμε την ακτίνα Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}
), την ακτίνα αυτής της μαύρης τρύπας. Αν και αυτό χρησιμοποιείται συνηθέστερα για την περιγραφή μιας μαύρης τρύπας Schwarzschild, η ακτίνα Schwarzschild μπορεί να υπολογιστεί για οποιοδήποτε βαρύ αντικείμενο.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} είναι το καθορισμένο όριο ακτίνας του αντικειμένου
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι η μετρική Schwarzschild;
A: Η μετρική Schwarzschild είναι μια εξίσωση από τη γενική σχετικότητα στον τομέα της αστροφυσικής που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο ένα σωματίδιο κινείται στο χώρο κοντά σε μια μαύρη τρύπα. Υπολογίστηκε από τον Karl Schwarzschild ως λύση στις εξισώσεις πεδίου του Αϊνστάιν το 1916.
Ερ: Σε τι αναφέρεται η μετρική;
A: Μια μετρική αναφέρεται σε μια εξίσωση που περιγράφει τον χωροχρόνο- συγκεκριμένα, μια μετρική Schwarzschild περιγράφει το βαρυτικό πεδίο γύρω από μια μαύρη τρύπα Schwarzschild.
Ερ: Ποια είναι ορισμένα χαρακτηριστικά της μαύρης τρύπας Schwarzschild;
Α: Η μαύρη τρύπα Schwarzschild δεν περιστρέφεται, είναι σφαιρική και δεν έχει μαγνητικό πεδίο. Επιπλέον, η κοσμολογική σταθερά της είναι μηδέν.
Ερ: Πώς μπορούμε να περιγράψουμε το βαρυτικό πεδίο γύρω από μια μαύρη τρύπα Schwarzschild;
Α: Μπορούμε να το περιγράψουμε χρησιμοποιώντας την εξίσωση της μετρικής Schwartzschild, η οποία περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο τα σωματίδια κινούνται στο χώρο κοντά σε αυτόν τον τύπο μαύρης τρύπας.
Ερ: Ποιος υπολόγισε πρώτος αυτή την εξίσωση;
Α: Ο Karl Schwartzchild υπολόγισε για πρώτη φορά αυτή την εξίσωση ως λύση των εξισώσεων πεδίου του Αϊνστάιν το 1916.
Ερ: Τι αντιπροσωπεύει το (ds)^2 σε αυτή την εξίσωση;
A: Το (ds)^2 αντιπροσωπεύει την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χωροχρόνο μετρούμενη σε σχέση με τις συντεταγμένες του χρόνου και του χώρου.
