Τυπική απόκλιση

Θεωρήστε μια ομάδα που έχει τους ακόλουθους οκτώ αριθμούς:

2 , , , 4,4 , , ,4 , 5, 5, 7{\displaystyle9 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9}

Αυτοί οι οκτώ αριθμοί έχουν μέσο όρο 5:

2 + +4 + +4 + +4 +5 + + 5+ 7= 98{\displaystyle5 {\frac {2+4+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}

Για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση του πληθυσμού, βρείτε πρώτα τη διαφορά κάθε αριθμού στον κατάλογο από τον μέσο όρο. Στη συνέχεια, τετραγωνίστε το αποτέλεσμα κάθε διαφοράς:

( 2- 5) =2 ( - 3) = 2(95 - 5) = 2= 02(04 - 5) =2 ( - ) = ( -1 ) =2 (15 - 5) = 2= 02(04 - 5) =2 ( - 1) = (17 - ) =2 ( - 5) = 222( 44- 5) =2 ( - ) = ( - 1) = ( - ) = 2(19 - 5) =2 = 42{\displaystyle16 {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}

Στη συνέχεια, βρείτε το μέσο όρο αυτών των τιμών (άθροισμα διαιρούμενο με τον αριθμό των αριθμών). Τέλος, πάρτε την τετραγωνική ρίζα:

( +9 + +1 + +1 +1 + +0 + + 0+ 4)16 = 8{\displaystyle2 {\sqrt {\frac {(9+1+1+1+1+0+0+4+16)}{8}}}=2}

Η απάντηση είναι η τυπική απόκλιση του πληθυσμού. Ο τύπος είναι αληθής μόνο αν οι οκτώ αριθμοί με τους οποίους ξεκινήσαμε είναι το σύνολο της ομάδας. Αν είναι μόνο ένα μέρος της ομάδας που επιλέχθηκε τυχαία, τότε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το 7 (που είναι το n - 1) αντί για το 8 (που είναι το n) στο κάτω μέρος (παρονομαστής) του προτελευταίου βήματος. Τότε η απάντηση είναι η τυπική απόκλιση του δείγματος. Αυτό ονομάζεται διόρθωση του Bessel.

Ένα λίγο πιο δύσκολο, πραγματικό παράδειγμα: Το μέσο ύψος των ενήλικων ανδρών στις Ηνωμένες Πολιτείες είναι 70", με τυπική απόκλιση 3". Μια τυπική απόκλιση 3" σημαίνει ότι οι περισσότεροι άνδρες (περίπου το 68%, υποθέτοντας μια κανονική κατανομή) έχουν ύψος 3" ψηλότερο έως 3" μικρότερο από το μέσο όρο (67"-73") - μια τυπική απόκλιση. Σχεδόν όλοι οι άνδρες (περίπου 95%) έχουν ύψος 6" ψηλότερο έως 6" μικρότερο από το μέσο όρο (64"-76") - δύο τυπικές αποκλίσεις. Οι τρεις τυπικές αποκλίσεις περιλαμβάνουν όλους τους αριθμούς για το 99,7% του πληθυσμού του δείγματος που μελετάται. Αυτό ισχύει αν η κατανομή είναι κανονική (σε σχήμα καμπάνας).

Αν η τυπική απόκλιση ήταν μηδέν, τότε όλοι οι άνδρες θα είχαν ύψος ακριβώς 70". Αν η τυπική απόκλιση ήταν 20", τότε κάποιοι άνδρες θα ήταν πολύ ψηλότεροι ή πολύ κοντύτεροι από τον μέσο όρο, με τυπικό εύρος περίπου 50"-90".

Για ένα άλλο παράδειγμα, καθεμία από τις τρεις ομάδες {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} και {6, 6, 8, 8, 8} έχει μέσο όρο (μέση τιμή) 7. Αλλά οι τυπικές αποκλίσεις τους είναι 7, 5 και 1. Η τρίτη ομάδα έχει πολύ μικρότερη τυπική απόκλιση από τις άλλες δύο, επειδή όλοι οι αριθμοί της είναι κοντά στο 7. Η βασική ιδέα είναι ότι η τυπική απόκλιση μας λέει πόσο μακριά από το μέσο όρο τείνουν να βρίσκονται οι υπόλοιποι αριθμοί. Θα έχει τις ίδιες μονάδες με τους ίδιους τους αριθμούς. Αν, για παράδειγμα, η ομάδα {0, 6, 8, 14} είναι οι ηλικίες μιας ομάδας τεσσάρων αδελφών σε έτη, ο μέσος όρος είναι 7 έτη και η τυπική απόκλιση είναι 5 έτη.

Η τυπική απόκλιση μπορεί να χρησιμεύσει ως μέτρο αβεβαιότητας. Στην επιστήμη, για παράδειγμα, η τυπική απόκλιση μιας ομάδας επαναλαμβανόμενων μετρήσεων βοηθά τους επιστήμονες να γνωρίζουν πόσο σίγουροι είναι για τον μέσο αριθμό. Όταν αποφασίζεται αν οι μετρήσεις από ένα πείραμα συμφωνούν με μια πρόβλεψη, η τυπική απόκλιση αυτών των μετρήσεων είναι πολύ σημαντική. Εάν ο μέσος αριθμός από τα πειράματα απέχει πολύ από τον προβλεπόμενο αριθμό (με την απόσταση να μετριέται σε τυπικές αποκλίσεις), τότε η θεωρία που δοκιμάζεται μπορεί να μην είναι σωστή. Βλέπε διάστημα πρόβλεψης.

Παραδείγματα εφαρμογών

Η χρήση της κατανόησης της τυπικής απόκλισης ενός συνόλου τιμών έγκειται στο να γνωρίζουμε πόσο μεγάλη αναμένεται να είναι η διαφορά από το "μέσο όρο" (μέση τιμή).

Καιρός

Ως απλό παράδειγμα, θεωρήστε τις μέσες ημερήσιες υψηλές θερμοκρασίες για δύο πόλεις, μία στην ενδοχώρα και μία κοντά στον ωκεανό. Είναι χρήσιμο να κατανοήσετε ότι το εύρος των ημερήσιων υψηλών θερμοκρασιών για πόλεις κοντά στον ωκεανό είναι μικρότερο από ό,τι για πόλεις στην ενδοχώρα. Αυτές οι δύο πόλεις μπορεί να έχουν την ίδια μέση ημερήσια υψηλή θερμοκρασία. Ωστόσο, η τυπική απόκλιση της ημερήσιας υψηλής θερμοκρασίας για την παράκτια πόλη θα είναι μικρότερη από εκείνη της πόλης στην ενδοχώρα .

Αθλητισμός

Ένας άλλος τρόπος να το δούμε αυτό είναι να εξετάσουμε τις αθλητικές ομάδες. Σε κάθε άθλημα, θα υπάρχουν ομάδες που είναι καλές σε κάποια πράγματα και όχι σε άλλα. Οι ομάδες που βρίσκονται στην υψηλότερη κατάταξη δεν θα παρουσιάζουν μεγάλες διαφορές στις ικανότητες. Τα καταφέρνουν καλά στις περισσότερες κατηγορίες. Όσο μικρότερη είναι η τυπική απόκλιση της ικανότητάς τους σε κάθε κατηγορία, τόσο πιο ισορροπημένες και συνεπείς είναι. Οι ομάδες με μεγαλύτερη τυπική απόκλιση, ωστόσο, θα είναι λιγότερο προβλέψιμες. Μια ομάδα που είναι συνήθως κακή στις περισσότερες κατηγορίες θα έχει χαμηλή τυπική απόκλιση. Μια ομάδα που είναι συνήθως καλή στις περισσότερες κατηγορίες θα έχει επίσης χαμηλή τυπική απόκλιση. Ωστόσο, μια ομάδα με υψηλή τυπική απόκλιση μπορεί να είναι ο τύπος της ομάδας που σκοράρει πολλούς πόντους (ισχυρή επίθεση) αλλά αφήνει επίσης την άλλη ομάδα να σκοράρει πολλούς πόντους (αδύναμη άμυνα).

Η προσπάθεια να γνωρίζετε εκ των προτέρων ποιες ομάδες θα κερδίσουν μπορεί να περιλαμβάνει την εξέταση των τυπικών αποκλίσεων των διαφόρων "στατιστικών" των ομάδων. Οι αριθμοί που διαφέρουν από τους αναμενόμενους μπορούν να αντιστοιχίσουν τα δυνατά σημεία με τις αδυναμίες για να δείξουν ποιοι λόγοι μπορεί να είναι πιο σημαντικοί για να γνωρίζουμε ποια ομάδα θα κερδίσει.

Στους αγώνες μετράται ο χρόνος που χρειάζεται ένας οδηγός για να ολοκληρώσει κάθε γύρο στην πίστα. Ένας οδηγός με χαμηλή τυπική απόκλιση των χρόνων γύρου είναι πιο συνεπής από έναν οδηγό με μεγαλύτερη τυπική απόκλιση. Αυτές οι πληροφορίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βοηθήσουν στην κατανόηση του τρόπου με τον οποίο ένας οδηγός μπορεί να μειώσει τον χρόνο για τον τερματισμό ενός γύρου.

Χρήματα

Στο χρήμα, η τυπική απόκλιση μπορεί να σημαίνει τον κίνδυνο να αυξηθεί ή να μειωθεί μια τιμή (μετοχές, ομόλογα, ακίνητα κ.λπ.). Μπορεί επίσης να σημαίνει τον κίνδυνο ότι μια ομάδα τιμών θα ανέβει ή θα πέσει (ενεργά διαχειριζόμενα αμοιβαία κεφάλαια, αμοιβαία κεφάλαια δείκτη ή ETF). Ο κίνδυνος είναι ένας από τους λόγους για τους οποίους πρέπει να λαμβάνουμε αποφάσεις σχετικά με το τι θα αγοράσουμε. Ο κίνδυνος είναι ένας αριθμός που οι άνθρωποι μπορούν να χρησιμοποιήσουν για να γνωρίζουν πόσα χρήματα μπορούν να κερδίσουν ή να χάσουν. Καθώς ο κίνδυνος γίνεται μεγαλύτερος, η απόδοση μιας επένδυσης μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την αναμενόμενη (η "συν" τυπική απόκλιση). Ωστόσο, μια επένδυση μπορεί επίσης να χάσει περισσότερα χρήματα από τα αναμενόμενα (η "μείον" τυπική απόκλιση).

Για παράδειγμα, ένα άτομο έπρεπε να επιλέξει μεταξύ δύο μετοχών. Η μετοχή Α τα τελευταία 20 χρόνια είχε μέση απόδοση 10 τοις εκατό, με τυπική απόκλιση 20 ποσοστιαίες μονάδες (π.μ.). Η μετοχή Β τα τελευταία 20 χρόνια είχε μέση απόδοση 12 τοις εκατό, αλλά υψηλότερη τυπική απόκλιση 30 pp. Σκεπτόμενος τον κίνδυνο, το άτομο μπορεί να αποφασίσει ότι η μετοχή Α είναι η ασφαλέστερη επιλογή. Παρόλο που μπορεί να μην βγάλει τόσα χρήματα, πιθανόν να μην χάσει και πολλά χρήματα. Το άτομο μπορεί να σκεφτεί ότι ο κατά 2 μονάδες υψηλότερος μέσος όρος της μετοχής Β δεν αξίζει την πρόσθετη τυπική απόκλιση των 10 pp (μεγαλύτερος κίνδυνος ή αβεβαιότητα της αναμενόμενης απόδοσης).

Κανόνες για κανονικά κατανεμημένους αριθμούς

Οι περισσότερες μαθηματικές εξισώσεις για την τυπική απόκλιση υποθέτουν ότι οι αριθμοί είναι κανονικά κατανεμημένοι. Αυτό σημαίνει ότι οι αριθμοί κατανέμονται με έναν ορισμένο τρόπο και στις δύο πλευρές της μέσης τιμής. Η κανονική κατανομή ονομάζεται επίσης κατανομή Γκάους επειδή ανακαλύφθηκε από τον Carl Friedrich Gauss. Συχνά αποκαλείται καμπύλη καμπάνας επειδή οι αριθμοί κατανέμονται έτσι ώστε να σχηματίζουν το σχήμα μιας καμπάνας σε ένα γράφημα.

Οι αριθμοί δεν είναι κανονικά κατανεμημένοι εάν ομαδοποιούνται στη μία ή στην άλλη πλευρά της μέσης τιμής. Οι αριθμοί μπορεί να είναι διασκορπισμένοι και να εξακολουθούν να είναι κανονικά κατανεμημένοι. Η τυπική απόκλιση δείχνει πόσο ευρέως είναι διασκορπισμένοι οι αριθμοί.

Ο μέσος όρος (mean) και η τυπική απόκλιση ενός συνόλου δεδομένων γράφονται συνήθως μαζί. Τότε ένα άτομο μπορεί να καταλάβει ποιος είναι ο μέσος αριθμός και πόσο μεγάλη είναι η διασπορά των άλλων αριθμών στην ομάδα.

Ο τρόπος με τον οποίο μια ομάδα αριθμών κατανέμεται μπορεί επίσης να δοθεί από τον συντελεστή διακύμανσης, ο οποίος είναι η τυπική απόκλιση διαιρεμένη με τον μέσο όρο. Είναι ένας αριθμός χωρίς διαστάσεις. Ο συντελεστής διακύμανσης συχνά πολλαπλασιάζεται με το 100% και γράφεται ως ποσοστό.

Ο όρος τυπική απόκλιση χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά γραπτώς από τον Karl Pearson το 1894, αφού τον χρησιμοποίησε σε διαλέξεις. Ήταν ως αντικατάσταση προηγούμενων ονομασιών για την ίδια ιδέα: για παράδειγμα, ο Gauss χρησιμοποιούσε το μέσο σφάλμα.

• Ακρίβεια και ακρίβεια
• Μέγεθος δείγματος