Κατανομή t-Student
Η κατανομή t του Student είναι μια κατανομήπιθανοτήτων που αναπτύχθηκε από τον William Sealy Gosset το 1908. Το ψευδώνυμο Student είναι το ψευδώνυμο που χρησιμοποίησε όταν δημοσίευσε την εργασία που περιγράφει την κατανομή. Ο Gosset εργαζόταν σε μια ζυθοποιία και ενδιαφερόταν για τα προβλήματα των μικρών δειγμάτων, για παράδειγμα για τις χημικές ιδιότητες του κριθαριού. Στα προβλήματα που ανέλυε, το μέγεθος του δείγματος μπορεί να ήταν μόλις τρία. Μια εκδοχή για την προέλευση του ψευδωνύμου είναι ότι ο εργοδότης του Gosset προτιμούσε το προσωπικό να χρησιμοποιεί ψευδώνυμα όταν δημοσιεύει επιστημονικές εργασίες αντί για το πραγματικό του όνομα, οπότε χρησιμοποίησε το όνομα "Student" για να κρύψει την ταυτότητά του. Μια άλλη εκδοχή είναι ότι η ζυθοποιία δεν ήθελε να γνωρίζουν οι ανταγωνιστές της ότι χρησιμοποιούσαν το t-test για να ελέγξουν την ποιότητα της πρώτης ύλης.
Λόγω του μικρού μεγέθους του δείγματος, δεν είναι δυνατή η εκτίμηση της τυπικής απόκλισης. Επίσης, σε πολλές περιπτώσεις που αντιμετώπισε ο Gosset, η κατανομή των πιθανοτήτων των δειγμάτων δεν ήταν γνωστή.
Μια κανονική κατανομή περιγράφει έναν πλήρη πληθυσμό, οι κατανομές t περιγράφουν δείγματα που προέρχονται από έναν πλήρη πληθυσμό- κατά συνέπεια, η κατανομή t για κάθε μέγεθος δείγματος είναι διαφορετική, και όσο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόσο περισσότερο η κατανομή μοιάζει με κανονική κατανομή.
Η κατανομή t παίζει ρόλο σε πολλές ευρέως χρησιμοποιούμενες στατιστικές αναλύσεις, όπως το t-testτου Student για την αξιολόγηση της στατιστικής σημαντικότητας της διαφοράς μεταξύ δύο δειγματικών μέσων, την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για τη διαφορά μεταξύ δύο πληθυσμιακών μέσων και στην ανάλυση γραμμικής παλινδρόμησης. Η t-κατανομή του Student εμφανίζεται επίσης στην ανάλυση κατά Bayes δεδομένων από μια κανονική οικογένεια.
Αν πάρουμε ένα δείγμα n παρατηρήσεων από μια κανονική κατανομή, τότε η κατανομή t με ν = n-1 βαθμούς ελευθερίας μπορεί να οριστεί ως η κατανομή της θέσης του πραγματικού μέσου, σε σχέση με τον δειγματικό μέσο και διαιρεμένη με την τυπική απόκλιση του δείγματος, αφού πολλαπλασιαστεί με τον όρο κανονικοποίησης n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 
. Με αυτόν τον τρόπο, η κατανομή t μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκτιμηθεί πόσο πιθανό είναι να βρίσκεται ο πραγματικός μέσος όρος σε οποιοδήποτε δεδομένο εύρος.
Η κατανομή t είναι συμμετρική και έχει σχήμα καμπάνας, όπως η κανονική κατανομή, αλλά έχει βαρύτερες ουρές, πράγμα που σημαίνει ότι είναι πιο επιρρεπής στην παραγωγή τιμών που απέχουν πολύ από τη μέση τιμή της. Αυτό την καθιστά χρήσιμη για την κατανόηση της στατιστικής συμπεριφοράς ορισμένων τύπων αναλογιών τυχαίων μεγεθών, στις οποίες η διακύμανση στον παρονομαστή ενισχύεται και μπορεί να παράγει ακραίες τιμές όταν ο παρονομαστής της αναλογίας πέφτει κοντά στο μηδέν. Η t-κατανομή του Student είναι μια ειδική περίπτωση της γενικευμένης υπερβολικής κατανομής.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η κατανομή t του Σπουδαστή;
A: Η t-κατανομή του Student είναι μια κατανομή πιθανοτήτων η οποία αναπτύχθηκε από τον William Sealy Gosset το 1908. Περιγράφει δείγματα που προέρχονται από έναν πλήρη πληθυσμό και όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο περισσότερο μοιάζει με κανονική κατανομή.
Ερ: Ποιος ανέπτυξε την κατανομή t του Σπουδαστή;
Α: Ο William Sealy Gosset ανέπτυξε την t-κατανομή του Student το 1908. Χρησιμοποίησε το ψευδώνυμο "Student" όταν δημοσίευσε την εργασία που την περιέγραφε.
Ερ: Ποιες είναι μερικές από τις χρήσεις της κατανομής t του Student;
A: Η κατανομή t του Student παίζει ρόλο σε πολλές ευρέως χρησιμοποιούμενες στατιστικές αναλύσεις, όπως το t-test του Student για την αξιολόγηση της στατιστικής σημαντικότητας των διαφορών μεταξύ δύο δειγματικών μέσων, την κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για διαφορές μεταξύ δύο πληθυσμιακών μέσων και την ανάλυση γραμμικής παλινδρόμησης. Εμφανίζεται επίσης στην Μπεϋζιανή ανάλυση δεδομένων από μια κανονική οικογένεια.
Ερ: Πώς επηρεάζει το μέγεθος του δείγματος το σχήμα μιας κατανομής t;
Α: Όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο περισσότερο θα μοιάζει με κανονική κατανομή. Για κάθε διαφορετικό μέγεθος δείγματος υπάρχει μια σχετική μοναδική κατανομή t που το περιγράφει.
Ερ: Υπάρχει κάποια σχέση μεταξύ της κατανομής Τ του Σπουδαστή και της κανονικής κατανομής;
Α: Ναι - ενώ οι κανονικές κατανομές περιγράφουν πλήρεις πληθυσμούς, οι κατανομές Τ του μαθητή περιγράφουν δείγματα που προέρχονται από αυτούς τους πληθυσμούς- ως εκ τούτου, μοιράζονται ομοιότητες αλλά διαφέρουν ανάλογα με τα αντίστοιχα μεγέθη τους. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα μεγαλύτερα δείγματα τείνουν να μοιάζουν περισσότερο με τις κανονικές κατανομές απ' ό,τι τα μικρότερα.
Ερώτηση: Υπάρχει κάποιο άλλο όνομα για αυτόν τον τύπο κατανομής;
Α: Όχι - αυτός ο τύπος κατανομής είναι γνωστός ως "κατανομή Τ του Student", η οποία πήρε το όνομά της από τον προγραμματιστή της William Sealy Gosset, ο οποίος χρησιμοποίησε το ψευδώνυμο "Student" όταν δημοσίευσε την εργασία του σχετικά με αυτήν.
