Διμερής συνάρτηση

Βασικές ιδιότητες

Επίσημα:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} είναι μια διμερής συνάρτηση αν ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} υπάρχει ένα μοναδικό a ∈ A {\displaystyle a\in A} τέτοιο ώστε f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. }

Το στοιχείο b {\displaystyle b} ονομάζεται εικόνα του στοιχείου a {\displaystyle a} .

• Ο επίσημος ορισμός σημαίνει: Κάθε στοιχείο του κωδικού τομέα Β είναι η εικόνα ακριβώς ενός στοιχείου του τομέα Α.

Το στοιχείο a {\displaystyle a} ονομάζεται προεικόνιση του στοιχείου b {\displaystyle b} .

• Ο επίσημος ορισμός σημαίνει: Κάθε στοιχείο του κωδικοχώρου B έχει ακριβώς μία προεικόνιση στον τομέα A.

Σημείωση: Surjection σημαίνει τουλάχιστον μία προ-εικόνα. Έγχυση σημαίνει το μέγιστο μία προεικόνιση. Επομένως, η διχοτόμηση σημαίνει ακριβώς μία προεικόνιση.

Cardinality

Καρδινικότητα είναι ο αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου. Η καρτελικότητα του A={X,Y,Z,W} είναι 4. Γράφουμε #A=4.

• Ορισμός: Δύο σύνολα Α και Β έχουν την ίδια καρτελικότητα αν υπάρχει μια διχοτόμηση μεταξύ των συνόλων. Έτσι, #A=#B σημαίνει ότι υπάρχει διχοτόμηση από το A στο B.

Διμερή και αντίστροφες συναρτήσεις

• Οι διμερείς διαστάσεις αντιστρέφονται με την αντιστροφή των βελών. Η νέα συνάρτηση ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση.

Επίσημα: Έστω f : A → B. Η αντίστροφη συνάρτηση g : B → A ορίζεται ως εξής: αν f(a)=b, τότε g(b)=a. (Βλέπε επίσης αντίστροφη συνάρτηση.)

• Η αντίστροφη συνάρτηση της αντίστροφης συνάρτησης είναι η αρχική συνάρτηση.
• Μια συνάρτηση έχει αντίστροφη συνάρτηση αν και μόνο αν είναι διχοτόμος.

Σημείωση: Ο συμβολισμός της αντίστροφης συνάρτησης της f προκαλεί σύγχυση. Συγκεκριμένα,

  f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} δηλώνει την αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f, αλλά x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} δηλώνει την αντίστροφη τιμή του αριθμού x.

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις συναρτήσεις

Έστω f(x):ℝ→ℝ μια συνάρτηση πραγματικής τιμής y=f(x) ενός πραγματικής τιμής ορίσματος x. (Αυτό σημαίνει ότι τόσο η είσοδος όσο και η έξοδος είναι αριθμοί.)

• Γραφική σημασία: Η συνάρτηση f είναι διχοτόμος αν κάθε οριζόντια γραμμή τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα ακριβώς σημείο.
• Αλγεβρική έννοια: Η συνάρτηση f είναι bijection αν για κάθε πραγματικό αριθμό y_o μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον έναν πραγματικό αριθμό x_o τέτοιο ώστε y_o =f(x_o ) και αν f(x_o )=f(x₁ ) σημαίνει x_o =x₁ .

Παράδειγμα: Η γραμμική συνάρτηση μιας κεκλιμένης γραμμής είναι διχοτόμος. Δηλαδή, y=ax+b όπου a≠0 είναι μια διχοτόμος.

Συζήτηση: Κάθε οριζόντια γραμμή τέμνει μια κεκλιμένη γραμμή σε ακριβώς ένα σημείο (δείτε surjection και injection για αποδείξεις). Εικόνα 1.

Παράδειγμα: f(x)=x³ είναι μια bijection. Εικόνα 2 και εικόνα 5 λεπτή κίτρινη καμπύλη. Το αντίστροφό της είναι η συνάρτηση κυβικής ρίζας f(x)= ∛x και είναι επίσης μια διχοτόμος f(x):ℝ→ℝ. Εικόνα 5: παχιά πράσινη καμπύλη.

Παράδειγμα: Η τετραγωνική συνάρτηση f(x) = x² δεν είναι διχοτόμος (από ℝ→ℝ). Εικόνα 3. Δεν είναι επιπρόσθετη προβολή. Δεν είναι έγχυση. Ωστόσο, μπορούμε να περιορίσουμε τόσο το πεδίο όσο και το συν-πεδίο της στο σύνολο των μη αρνητικών αριθμών (0,+∞) για να πάρουμε μια (αντιστρέψιμη) bijection (βλ. παραδείγματα παρακάτω).

• ο τομέας
• η μηχανή λειτουργίας
• το codomain

Παράδειγμα: f(x)=x².

• Αυτή η μηχανή και το domain=ℝ και το codomain=ℝ δεν είναι surjection και δεν είναι injection. Ωστόσο,
• αυτή η ίδια μηχανή και domain=[0,+∞) και codomain=[0,+∞) είναι τόσο μια υπερβολή όσο και μια έγχυση και επομένως μια διχοτόμηση.

Διμερή και τα αντίστροφά τους

Έστω f(x):A→B όπου A και B είναι υποσύνολα του ℝ.

• Ας υποθέσουμε ότι η f δεν είναι διχοτόμος. Για κάθε x όπου η παράγωγος της f υπάρχει και δεν είναι μηδέν, υπάρχει μια γειτονιά του x όπου μπορούμε να περιορίσουμε το πεδίο και το συν-πεδίο της f σε διχοτόμηση.
• Οι γραφικές παραστάσεις των αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x. (Βλέπε επίσης Αντίστροφη συνάρτηση.)

Παράδειγμα: Η τετραγωνική συνάρτηση που ορίζεται στο περιορισμένο πεδίο και στο συν-πεδίο [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} ορίζεται από τη σχέση f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}}

είναι μια bijection. Εικόνα 6: λεπτή κίτρινη καμπύλη.

Παράδειγμα: Η συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας που ορίζεται στο περιορισμένο πεδίο και στο συν-πεδίο [0,+∞].

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):[0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )} ορίζεται από τη σχέση f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}

είναι η bijection που ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της τετραγωνικής συνάρτησης: x² . Εικόνα 6: παχιά πράσινη καμπύλη.

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle f(x):\mathbf {R} \,\,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )} ορίζεται από τη σχέση f ( x ) = a x, a > 1 {\displaystyle f(x)=a^{x}\,,\,\,\,a>1}

είναι μια bijection. Εικόνα 4: λεπτή κίτρινη καμπύλη (a=10).

Παράδειγμα: Η λογαριθμική συνάρτηση base a ορίζεται στο περιορισμένο πεδίο (0,+∞) και στο κωδικό πεδίο ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+\infty )\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\mathbf {R} } ορίζεται από τη σχέση f ( x ) = log a x, a > 1 {\displaystyle f(x)=\log _{a}x\,,\,\,\,a>1}

είναι η bijection που ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής συνάρτησης: a^x . Εικόνα 4: παχιά πράσινη καμπύλη (a=10).

Σχετικές σελίδες

• Λειτουργία (μαθηματικά)
• Αντικειμενική συνάρτηση
• Ενέσιμη συνάρτηση
• Αντίστροφη συνάρτηση