Ένα προς ένα

Βασικές ιδιότητες

Επίσημα:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} είναι μια εγχυτική συνάρτηση αν ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})} ή ισοδύναμα

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} είναι μια εγχυτική συνάρτηση αν ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a_{1}=a_{2}}}

Το στοιχείο a {\displaystyle a} ονομάζεται προεικόνιση του στοιχείου b {\displaystyle b} αν f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b} . Οι ενέσεις έχουν μία ή καμία προεικόνιση για κάθε στοιχείο b στο B.

Καρδαιότητα

Καρδινικότητα είναι ο αριθμός των στοιχείων ενός συνόλου. Η καρτελικότητα του A={X,Y,Z,W} είναι 4. Γράφουμε #A=4.

• Εάν η καρτελικότητα του κωδικού τομέα είναι μικρότερη από την καρτελικότητα του τομέα, η συνάρτηση δεν μπορεί να είναι έγχυση. (Για παράδειγμα, δεν υπάρχει κανένας τρόπος να αντιστοιχίσετε 6 στοιχεία σε 5 στοιχεία χωρίς διπλότυπο).

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις συναρτήσεις

Έστω f(x):ℝ→ℝ μια συνάρτηση πραγματικής τιμής y=f(x) ενός πραγματικής τιμής ορίσματος x. (Αυτό σημαίνει ότι τόσο η είσοδος όσο και η έξοδος είναι πραγματικοί αριθμοί.)

• Γραφική σημασία: Η συνάρτηση f είναι έγχυση αν κάθε οριζόντια γραμμή τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.
• Αλγεβρική έννοια: Η συνάρτηση f είναι έγχυση αν f(x_o )=f(x₁ ) σημαίνει x_o =x .₁

Παράδειγμα: Η γραμμική συνάρτηση μιας κεκλιμένης γραμμής είναι 1-1. Δηλαδή, y=ax+b όπου a≠0 είναι μια έγχυση. (Είναι επίσης μια υπερβολή και επομένως μια διχοτόμηση).

Απόδειξη: Έστω x_o και x₁ πραγματικοί αριθμοί. Ας υποθέσουμε ότι η ευθεία απεικονίζει αυτές τις δύο τιμές x στην ίδια τιμή y. Αυτό σημαίνει a-x_o +b=a-x₁ +b. Αφαιρέστε το b και από τις δύο πλευρές. Έχουμε a-x_o =a-x₁ . Τώρα διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το α (θυμηθείτε το α≠0). Έχουμε x_o =x₁ . Έτσι έχουμε αποδείξει τον τυπικό ορισμό και τη συνάρτηση y=ax+b όπου a≠0 είναι μια έγχυση.

Παράδειγμα: f(x)=x³ είναι μια έγχυση. Ωστόσο, η πολυωνυμική συνάρτηση τρίτου βαθμού: f(x)=x³ -3x δεν είναι έγχυση.

Συζήτηση 1: Οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή τέμνει τη γραφική παράσταση της

f(x)=x³ ακριβώς μία φορά. (Επίσης, είναι μια επιπρόσθετη προβολή.)

Συζήτηση 2. Οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή μεταξύ y=-2 και y=2 τέμνει τη γραφική παράσταση σε τρία σημεία, οπότε η συνάρτηση αυτή δεν είναι έγχυση. (Ωστόσο, είναι μια υπερβολή).

Παράδειγμα: Η τετραγωνική συνάρτηση f(x) = x² δεν είναι έγχυση.

Συζήτηση: Κάθε οριζόντια γραμμή y=c όπου c>0 τέμνει τη γραφική παράσταση σε δύο σημεία. Επομένως, η συνάρτηση αυτή δεν είναι έγχυση. (Επίσης, δεν είναι επιπρόσθετη προβολή.)

Σημείωση: Μπορεί κανείς να μετατρέψει μια μη εγχυτική συνάρτηση σε εγχυτική συνάρτηση εξαλείφοντας μέρος του πεδίου. Αυτό το ονομάζουμε περιορισμό του πεδίου. Για παράδειγμα, περιορίστε το πεδίο της f(x)=x² σε μη αρνητικούς αριθμούς (θετικούς αριθμούς και μηδέν). Ορίστε

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} } όπου f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Αυτή η λειτουργία είναι τώρα μια ένεση. (Δείτε επίσης τον περιορισμό μιας συνάρτησης.)

Παράδειγμα: Η εκθετική συνάρτηση f(x) = 10^x είναι μια έγχυση. (Ωστόσο, δεν είναι επιπρόσθετη ένωση.)

Συζήτηση: Οποιαδήποτε οριζόντια γραμμή τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο. Οι οριζόντιες γραμμές y=c όπου c>0 την τέμνουν σε ακριβώς ένα σημείο. Οι οριζόντιες γραμμές y=c όπου c≤0 δεν τέμνουν τη γραφική παράσταση σε κανένα σημείο.

Σημείωση: Το γεγονός ότι μια εκθετική συνάρτηση είναι ενέσιμη μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε υπολογισμούς.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Παράδειγμα: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,2=x-3\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=5}  

Άλλα παραδείγματα

Παράδειγμα: Η λογαριθμική συνάρτηση βάσης 10 f(x):(0,+∞)→ℝ που ορίζεται από τη σχέση f(x)=log(x) ή y=log₁₀ (x) είναι μια έγχυση (και μια υπερέκθεση). (Πρόκειται για την αντίστροφη συνάρτηση του 10^x .)

Παράδειγμα: Η συνάρτηση f:ℕ→ℕ που απεικονίζει κάθε φυσικό αριθμό n στο 2n είναι μια έγχυση. Κάθε ζυγός αριθμός έχει ακριβώς μία προ-εικόνα. Κάθε περιττός αριθμός δεν έχει καμία προεικόνιση.

Σχετικές σελίδες

• Λειτουργία (μαθηματικά)
• Προσθετική συνάρτηση
• Διμερής συνάρτηση