Επί

Στα μαθηματικά, μια υπερθετική ή επί συνάρτηση είναι μια συνάρτηση f : A → B με την ακόλουθη ιδιότητα. Για κάθε στοιχείο b στον κωδικό τομέα B υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο a στον τομέα A τέτοιο ώστε f(a)=b. Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή και η κωδικοπεριοχή της f είναι το ίδιο σύνολο.

Ο όρος surjection και οι συναφείς όροι injection και bijection εισήχθησαν από την ομάδα μαθηματικών που ονομάστηκε Nicholas Bourbaki. Στη δεκαετία του 1930, αυτή η ομάδα μαθηματικών δημοσίευσε μια σειρά βιβλίων για τα σύγχρονα προχωρημένα μαθηματικά. Το γαλλικό πρόθεμα sur σημαίνει πάνω ή πάνω σε και επιλέχθηκε επειδή μια υπερθετική συνάρτηση απεικονίζει το πεδίο ορισμού της πάνω στο συν-πεδίο ορισμού της.

Βασικές ιδιότητες

Επίσημα:

f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} είναι $f:A\rightarrow B$ μια υπερπροωθητική συνάρτηση αν ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {\displaystyle \forall b\in B\,\,\,\exists a\in A} τέτοια $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ ώστε f ( a ) = b . {\displaystyle f(a)=b\,. } $f(a)=b\,.$

Το στοιχείο b {\displaystyle b} $b$ ονομάζεται εικόνα του στοιχείου a {\displaystyle a} .

Ο επίσημος ορισμός σημαίνει: Κάθε στοιχείο του κωδικού τομέα Β είναι η εικόνα τουλάχιστον ενός στοιχείου του τομέα Α.

Το στοιχείο a {\displaystyle a} ονομάζεται προ-εικόνα του στοιχείου b {\displaystyle b} $b$ .

Ο επίσημος ορισμός σημαίνει: Κάθε στοιχείο του κωδικοχώρου B έχει τουλάχιστον μία προεικόνιση στον τομέα A.

Μια προ-εικόνα δεν χρειάζεται να είναι μοναδική. Στην επάνω εικόνα, τόσο το {X} όσο και το {Y} είναι προ-εικόνες του στοιχείου {1}. Είναι σημαντικό μόνο να υπάρχει τουλάχιστον μία προ-εικόνα. (Βλέπε επίσης: Ένθετη συνάρτηση, Διμερής συνάρτηση)

Παραδείγματα

Στοιχειώδεις συναρτήσεις

Έστω f(x):ℝ→ℝ μια συνάρτηση πραγματικής τιμής y=f(x) ενός πραγματικής τιμής ορίσματος x. (Αυτό σημαίνει ότι τόσο η είσοδος όσο και η έξοδος είναι αριθμοί.)

Γραφική σημασία: Κάθε οριζόντια γραμμή τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε τουλάχιστον ένα σημείο.
Αναλυτική έννοια: Για κάθε πραγματικό αριθμό y_o μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον έναν πραγματικό αριθμό x_o τέτοιο ώστε y=f_o(x_o).

Η εύρεση μιας προ-εικόνας x_o για ένα δεδομένο y_o είναι ισοδύναμη με οποιαδήποτε από τις δύο ερωτήσεις:

Έχει λύση η εξίσωση f(x)-y=0_o; ή
Έχει ρίζα η συνάρτηση f(x)-y;_o

Στα μαθηματικά, μπορούμε να βρούμε ακριβείς (αναλυτικές) ρίζες μόνο σε πολυώνυμα πρώτου, δεύτερου (και τρίτου) βαθμού. Βρίσκουμε τις ρίζες όλων των άλλων συναρτήσεων προσεγγιστικά (αριθμητικά). Αυτό σημαίνει ότι μια τυπική απόδειξη της υπερκειμενικότητας είναι σπάνια άμεση. Έτσι, οι συζητήσεις που ακολουθούν είναι άτυπες.

Παράδειγμα: Η γραμμική συνάρτηση μιας κεκλιμένης γραμμής είναι επάνω. Δηλαδή, y=ax+b, όπου a≠0 είναι μια υπερβολή. (Είναι επίσης μια έγχυση και επομένως μια διχοτόμηση).

Απόδειξη: Αφού a≠0 έχουμε x= (y-b_o)/_a. Αυτό σημαίνει ότι το x=_o(y-b_o)/_a είναι προ-εικόνα του y_o. Αυτό αποδεικνύει ότι η συνάρτηση y=ax+b όπου a≠0 είναι μια υπερβολή. (Εφόσον υπάρχει ακριβώς μία προεικόνιση, η συνάρτηση αυτή είναι επίσης έγχυση).

Πρακτικό παράδειγμα: y= -2x+4. Ποια είναι η προ-εικόνα του y=2; Λύση: Η εικόνα της εικόνας είναι η εικόνα της προηγούμενης εικόνας: Εδώ a= -2, δηλαδή a≠0 και το ερώτημα είναι: Τι είναι αυτό; Για ποιο x είναι το y=2; Αντικαθιστούμε το y=2 στη συνάρτηση. Παίρνουμε x=1, δηλαδή y(1)=2. Άρα η απάντηση είναι: το x=1 είναι η προ-εικόνα του y=2.

Παράδειγμα: Το κυβικό πολυώνυμο (τρίτου βαθμού) f(x)=x-3x³ είναι μια υπερβολή.

Συζήτηση: Η κυβική εξίσωση x-3x-y=0³_o έχει πραγματικούς συντελεστές (a=1₃, a=0₂, a=-3₁, a=-y_0o). Κάθε τέτοια κυβική εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. Δεδομένου ότι το πεδίο του πολυωνύμου είναι το ℝ, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία προ-εικόνα x_o στο πεδίο. Δηλαδή, (x₀)³-3x-y=0_0o. Άρα η συνάρτηση είναι μια υπερβολή. (Ωστόσο, η συνάρτηση αυτή δεν είναι έγχυση. Για παράδειγμα, το y=2_o έχει 2 προ-εικόνες: x=-1 και x=2. Στην πραγματικότητα, κάθε y, -2≤y≤2 έχει τουλάχιστον 2 προ-εικόνες).

Παράδειγμα: Η τετραγωνική συνάρτηση f(x) = x² δεν είναι μια υπερβολή. Δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε x ²= -1. Το εύρος του x² είναι το [0,+∞) , δηλαδή το σύνολο των μη αρνητικών αριθμών. (Επίσης, η συνάρτηση αυτή δεν είναι έγχυση).

Σημείωση: Μπορούμε να μετατρέψουμε μια μη-επικαλυπτική συνάρτηση σε επικαθήμενο περιορίζοντας την κωδικοπεριοχή της σε στοιχεία του εύρους της. Για παράδειγμα, η νέα συνάρτηση, f_N(x):ℝ → [0,+∞) όπου f_N(x) = x² είναι μια επιφανειακή συνάρτηση. (Αυτό δεν είναι το ίδιο με τον περιορισμό μιας συνάρτησης που περιορίζει το πεδίο!)

Παράδειγμα: Η εκθετική συνάρτηση f(x) = 10^x δεν είναι υπερβολή. Το εύρος της είναι το 10^x(0,+∞), δηλαδή το σύνολο των θετικών αριθμών. (Αυτή η συνάρτηση είναι μια έγχυση).

Υπερβολή. f(x):ℝ→ℝ (και έγχυση)

Υπερβολή. f(x):ℝ→ℝ (όχι έγχυση)

f(x):ℝ→ℝ (ούτε έγχυση)

f(x):ℝ→ℝ (αλλά είναι έγχυση)

Υπερβολή. f(x):(0,+∞)→ℝ (και έγχυση)

Υπερβολή. z:ℝ²→ℝ, z=y. (Η εικόνα δείχνει ότι η προ-εικόνα της z=2 είναι η ευθεία y=2).

Άλλα παραδείγματα με συναρτήσεις πραγματικών τιμών

Παράδειγμα: Η λογαριθμική συνάρτηση βάσης 10 f(x):(0,+∞)→ℝ που ορίζεται από f(x)=log(x) ή y=log₁₀(x) είναι μια υπερβολή (και μια έγχυση). (Πρόκειται για την αντίστροφη συνάρτηση του 10^x).

Η προβολή ενός καρτεσιανού γινομένου A × B σε έναν από τους παράγοντες του είναι μια υπερθέση.

Παράδειγμα: Η συνάρτηση f((x,y)):ℝ²→ℝ που ορίζεται από z=y είναι μια υπερβολή. Η γραφική της παράσταση είναι ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Η προ-εικόνα της z_o είναι η ευθεία y=z_o στο επίπεδο xy. 0

Στα τρισδιάστατα παιχνίδια, ο τρισδιάστατος χώρος προβάλλεται σε μια δισδιάστατη οθόνη με μια υπερβολή.

Σχετικές σελίδες

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι μια επιφανειακή συνάρτηση στα μαθηματικά;

A: Μια επιπρόσθετη συνάρτηση στα μαθηματικά είναι μια συνάρτηση f: A → B με την ιδιότητα ότι για κάθε στοιχείο b στο συν-πεδίο B, υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο a στο πεδίο A τέτοιο ώστε f(a)=b.

Ερώτηση: Ποια είναι η σημασία μιας υποτακτικής συνάρτησης στα μαθηματικά;

A: Μια υπερπροωθητική συνάρτηση εξασφαλίζει ότι κανένα στοιχείο του κωδικοπεδίου δεν είναι μη απεικονιζόμενο και ότι το πεδίο και το κωδικοπεδίο της f είναι το ίδιο σύνολο.

Ερ: Ποια είναι η προέλευση του όρου surjection;

Α: Ο όρος surjection εισήχθη από την ομάδα μαθηματικών που ονομάζεται Nicholas Bourbaki.

Ερ: Ποια είναι η σημασία του γαλλικού προθέματος sur στο surjective;

Α: Το γαλλικό πρόθεμα sur σημαίνει πάνω ή πάνω σε.

Ερ: Γιατί επιλέχθηκε ο όρος surjective για αυτό το είδος συνάρτησης;

Α: Ο όρος surjective επιλέχθηκε για αυτό το είδος συνάρτησης επειδή μια surjective συνάρτηση απεικονίζει το πεδίο ορισμού της στο συν-πεδίο ορισμού της.

Ερ: Ποιος δημοσίευσε μια σειρά βιβλίων για τα σύγχρονα προχωρημένα μαθηματικά τη δεκαετία του 1930;

Α: Η ομάδα μαθηματικών που ονομάζεται Νικολάου Μπουρμπακί δημοσίευσε μια σειρά βιβλίων για τα σύγχρονα προηγμένα μαθηματικά τη δεκαετία του 1930.

Ερ: Τι είναι η έγχυση και η διχοτόμηση στα μαθηματικά;

Α: Η έγχυση και η διχοτόμηση είναι συναφείς όροι με την υπερβολή στα μαθηματικά. Μια συνάρτηση έγχυσης διασφαλίζει ότι κανένα στοιχείο του πεδίου δεν αντιστοιχίζεται στο ίδιο στοιχείο του κωδικού πεδίου. Μια συνάρτηση bijection είναι τόσο επιβαλλόμενη όσο και ενέσιμη.