Διακριτά μαθηματικά
Τα διακριτά μαθηματικά είναι η μελέτη των μαθηματικών δομών που είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς που μεταβάλλονται "ομαλά", τα διακριτά μαθηματικά μελετούν αντικείμενα όπως οι ακέραιοι αριθμοί, οι γραφικές παραστάσεις και οι προτάσεις της λογικής. Αυτά τα αντικείμενα δεν μεταβάλλονται ομαλά, αλλά έχουν διακριτές, διαχωρισμένες τιμές. Συνεπώς, τα διακριτά μαθηματικά αποκλείουν θέματα των "συνεχών μαθηματικών", όπως ο λογισμός και η ανάλυση. Τα διακριτά αντικείμενα μπορούν συχνά να μετρηθούν χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς. Οι μαθηματικοί λένε ότι πρόκειται για τον κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με μετρήσιμα σύνολα (σύνολα που έχουν την ίδια καρτελικότητα με υποσύνολα των φυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των λογικών αριθμών αλλά όχι των πραγματικών αριθμών). Ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής, καθολικά συμφωνημένος, ορισμός του όρου "διακριτά μαθηματικά". Πολλές φορές, τα διακριτά μαθηματικά περιγράφονται λιγότερο από το τι περιλαμβάνεται παρά από το τι αποκλείεται: συνεχώς μεταβαλλόμενες ποσότητες και συναφείς έννοιες.
Το σύνολο των αντικειμένων που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Ο όρος πεπερασμένα μαθηματικά εφαρμόζεται μερικές φορές σε τμήματα του πεδίου των διακριτών μαθηματικών που ασχολούνται με πεπερασμένα σύνολα, ιδίως σε τομείς που σχετίζονται με τις επιχειρήσεις.
Η έρευνα στα διακριτά μαθηματικά αυξήθηκε στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα εν μέρει λόγω της ανάπτυξης των ψηφιακών υπολογιστών που λειτουργούν με διακριτά βήματα και αποθηκεύουν δεδομένα σε διακριτά bits. Οι έννοιες και οι συμβολισμοί των διακριτών μαθηματικών είναι χρήσιμοι στη μελέτη και περιγραφή αντικειμένων και προβλημάτων σε κλάδους της επιστήμης των υπολογιστών, όπως οι αλγόριθμοι υπολογιστών, οι γλώσσες προγραμματισμού, η κρυπτογραφία, η αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων και η ανάπτυξη λογισμικού. Με τη σειρά τους, οι υλοποιήσεις υπολογιστών είναι σημαντικές στην εφαρμογή ιδεών από τα διακριτά μαθηματικά σε προβλήματα του πραγματικού κόσμου, όπως στην επιχειρησιακή έρευνα.
Αν και τα κύρια αντικείμενα μελέτης στα διακριτά μαθηματικά είναι διακριτά αντικείμενα, συχνά χρησιμοποιούνται επίσης αναλυτικές μέθοδοι από τα συνεχή μαθηματικά.
Οι γράφοι όπως αυτός είναι ένα από τα αντικείμενα που μελετώνται από τα διακριτά μαθηματικά, για τις ενδιαφέρουσες μαθηματικές τους ιδιότητες, τη χρησιμότητά τους ως μοντέλα πραγματικών προβλημάτων και τη σημασία τους στην ανάπτυξη αλγορίθμων για υπολογιστές.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι τα διακριτά μαθηματικά;
A: Τα διακριτά μαθηματικά είναι η μελέτη των μαθηματικών δομών που είναι διακριτές και όχι συνεχείς. Περιλαμβάνουν αντικείμενα όπως οι ακέραιοι αριθμοί, οι γραφικές παραστάσεις και οι προτάσεις της λογικής που έχουν διακριτές, διαχωρισμένες τιμές και δεν μεταβάλλονται ομαλά όπως οι πραγματικοί αριθμοί.
Ερ: Ποια θέματα αποκλείει;
Α: Τα διακριτά μαθηματικά αποκλείουν θέματα των "συνεχών μαθηματικών", όπως ο λογισμός και η ανάλυση.
Ερ: Πώς μπορούν να μετρηθούν τα διακριτά αντικείμενα;
Α: Τα διακριτά αντικείμενα μπορούν συχνά να μετρηθούν χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς.
Ερ: Ποιος είναι ο ορισμός των διακριτών μαθηματικών;
Α: Οι μαθηματικοί λένε ότι πρόκειται για τον κλάδο των μαθηματικών που ασχολείται με μετρήσιμα σύνολα (σύνολα που έχουν την ίδια καρτελικότητα με υποσύνολα των φυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένων των λογικών αριθμών αλλά όχι των πραγματικών αριθμών). Ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής, καθολικά συμφωνημένος ορισμός του όρου "διακριτά μαθηματικά". Πολλές φορές, περιγράφονται λιγότερο από το τι περιλαμβάνεται παρά από το τι αποκλείεται - συνεχώς μεταβαλλόμενες ποσότητες και συναφείς έννοιες.
Ερ: Είναι όλα τα αντικείμενα που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά πεπερασμένα ή άπειρα;
Α: Το σύνολο των αντικειμένων που μελετώνται στα διακριτά μαθηματικά μπορεί να είναι είτε πεπερασμένο είτε άπειρο. Ο όρος πεπερασμένα μαθηματικά εφαρμόζεται μερικές φορές σε τμήματα του πεδίου που ασχολούνται με πεπερασμένα σύνολα, ιδίως σε τομείς που σχετίζονται με τις επιχειρήσεις.
Ερ: Πώς αυξήθηκε η έρευνα στα διακριτά μαθηματικά κατά τη διάρκεια του 20ού αιώνα;
Α: Η έρευνα στα διακριτά μαθηματικά αυξήθηκε κατά το δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα εν μέρει λόγω των εξελίξεων στους ψηφιακούς υπολογιστές που λειτουργούν σε διακριτά βήματα και αποθηκεύουν δεδομένα σε διακριτά bits.
Ερ: Πώς χρησιμοποιούνται έννοιες από τα διακριτά μαθηματικά εκτός του πεδίου τους;
Α: Οι έννοιες και οι συμβολισμοί από τα διακριτά μαθηματικά είναι χρήσιμοι για τη μελέτη και την περιγραφή προβλημάτων και αντικειμένων στο πλαίσιο της επιστήμης των υπολογιστών, όπως αλγόριθμοι, γλώσσες προγραμματισμού, κρυπτογραφία κ.ά., ενώ οι υλοποιήσεις σε υπολογιστές βοηθούν στην εφαρμογή ιδεών από αυτό το πεδίο σε προβλήματα του πραγματικού κόσμου, όπως η επιχειρησιακή έρευνα.
