Μαθηματική ανάλυση

Μέρη της μαθηματικής ανάλυσης

Όρια

Ένα παράδειγμα για τη μαθηματική ανάλυση είναι τα όρια. Τα όρια χρησιμοποιούνται για να δούμε τι συμβαίνει πολύ κοντά στα πράγματα. Τα όρια μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να δούμε τι συμβαίνει όταν τα πράγματα γίνονται πολύ μεγάλα. Για παράδειγμα, το 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} δεν είναι ποτέ μηδέν, αλλά καθώς το n μεγαλώνει το 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} πλησιάζει στο μηδέν. Το όριο του 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} καθώς το n μεγαλώνει είναι μηδέν. Συνήθως λέγεται "Το όριο του 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} καθώς το n πηγαίνει στο άπειρο είναι μηδέν". Γράφεται ως lim n → ∞ 1 n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0} .

Το αντίστοιχο θα ήταν 2 × n {\displaystyle {2}\times {n}} . Όταν το n {\displaystyle {n}} μεγαλώνει, το όριο πηγαίνει στο άπειρο. Γράφεται ως lim n → ∞ 2 × n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty } .

Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας μπορεί να αποδειχθεί από ορισμένα βασικά αποτελέσματα της μιγαδικής ανάλυσης. Λέει ότι κάθε πολυώνυμο f ( x ) {\displaystyle f(x)} με πραγματικούς ή μιγαδικούς συντελεστές έχει μιγαδική ρίζα. Μια ρίζα είναι ένας αριθμός x που δίνει λύση f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . Ορισμένες από αυτές τις ρίζες μπορεί να είναι ίδιες.

Διαφορικός λογισμός

Η συνάρτηση f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} είναι μια ευθεία. Το m {\displaystyle {m}} δείχνει την κλίση της συνάρτησης και το c {\displaystyle {c}} δείχνει τη θέση της συνάρτησης στη διατεταγμένη. Με δύο σημεία στην ευθεία, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η κλίση m {\displaystyle {m}} με:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} .

Μια συνάρτηση της μορφής f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , η οποία δεν είναι γραμμική, δεν μπορεί να υπολογιστεί όπως παραπάνω. Είναι δυνατός ο υπολογισμός της κλίσης μόνο με τη χρήση εφαπτόμενων και δευτερευουσών. Η δευτερεύουσα διέρχεται από δύο σημεία και όταν τα δύο σημεία πλησιάζουν, μετατρέπεται σε εφαπτομένη.

Ο νέος τύπος είναι m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} .

Αυτό ονομάζεται πηλίκο διαφοράς. Το x 1 {\displaystyle x_{1}} έρχεται τώρα πιο κοντά στο x 0 {\displaystyle x_{0}} . Αυτό μπορεί να εκφραστεί με τον ακόλουθο τύπο:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\displaystyle f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} .

Το αποτέλεσμα ονομάζεται παράγωγος ή κλίση της f στο σημείο x {\displaystyle {x}} .

Ενσωμάτωση

Η ολοκλήρωση αφορά τον υπολογισμό των περιοχών.

Το σύμβολο ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}

διαβάζεται ως "το ολοκλήρωμα της f, από το a στο b" και αναφέρεται στο εμβαδόν μεταξύ του άξονα x, της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f και των ευθειών x=a και x=b. Το a {\displaystyle a} είναι το σημείο όπου πρέπει να ξεκινάει η περιοχή και το b {\displaystyle b} όπου τελειώνει η περιοχή.

Σχετικές σελίδες

Ορισμένα θέματα ανάλυσης είναι:

• Υπολογισμός
• Σύνθετη ανάλυση
• Λειτουργική ανάλυση
• Αριθμητική ανάλυση

Ορισμένες χρήσιμες ιδέες στην ανάλυση είναι:

• Σειρά
• Ακολουθίες
• Παράγωγα
• Ολοκληρώσεις