Διαίρεση με το μηδέν

Είναι δυνατόν να μεταμφιέσουμε μια ειδική περίπτωση διαίρεσης με το μηδέν σε ένα αλγεβρικό επιχείρημα. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε άκυρες αποδείξεις, όπως το 1=2, όπως στο ακόλουθο παράδειγμα:

Με τις ακόλουθες παραδοχές:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\\0\times 2&=0.\end{aligned}}}

Τα ακόλουθα πρέπει να ισχύουν:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,}

Διαιρώντας με το μηδέν προκύπτει:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.}

Απλοποιήστε:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,}

Η πλάνη είναι η υπόθεση ότι η διαίρεση με το 0 είναι μια νόμιμη πράξη με 0/0 = 1.

Οι περισσότεροι άνθρωποι θα αναγνώριζαν πιθανότατα την παραπάνω "απόδειξη" ως λανθασμένη, αλλά το ίδιο επιχείρημα μπορεί να παρουσιαστεί με τρόπο που να δυσκολεύει τον εντοπισμό του λάθους. Για παράδειγμα, αν το 1 γράφεται ως x, τότε το 0 μπορεί να κρυφτεί πίσω από το x-x και το 2 πίσω από το x+x. Η προαναφερθείσα απόδειξη μπορεί τότε να εμφανιστεί ως εξής:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}

επομένως:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,}

Διαιρώντας με x - x προκύπτει:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,}

και διαιρώντας με το x προκύπτει:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,}

Η παραπάνω "απόδειξη" είναι λανθασμένη επειδή διαιρείται με το μηδέν όταν διαιρείται με το x-x, επειδή κάθε αριθμός μείον τον εαυτό του είναι μηδέν.

Στον λογισμό, οι παραπάνω "απροσδιόριστες μορφές" προκύπτουν επίσης ως αποτέλεσμα της άμεσης αντικατάστασης κατά την αξιολόγηση των ορίων.

Εάν ένα πρόγραμμα υπολογιστή προσπαθήσει να διαιρέσει έναν ακέραιο με το μηδέν, το λειτουργικό σύστημα συνήθως το εντοπίζει και σταματά το πρόγραμμα. Συνήθως θα εκτυπώσει ένα "μήνυμα σφάλματος" ή θα δώσει στον προγραμματιστή συμβουλές για το πώς να βελτιώσει το πρόγραμμα^[]. Η διαίρεση με το μηδέν είναι ένα συνηθισμένο σφάλμα στον προγραμματισμό υπολογιστών. Η διαίρεση αριθμών κινητής υποδιαστολής (δεκαδικών αριθμών) με το μηδέν θα έχει συνήθως ως αποτέλεσμα είτε το άπειρο είτε μια ειδική τιμή NaN (not a number), ανάλογα με το τι διαιρείται με το μηδέν.

Στη γεωμετρία 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } Αυτό το άπειρο (προβολικό άπειρο) δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός, με τον ίδιο τρόπο που το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός