Διαίρεση με το μηδέν

Στα μαθηματικά, ένας αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί με το μηδέν. Παρατηρήστε:

1. A ∗ B = C {\displaystyle A*B=C} $A*B=C$

Αν B = 0, τότε C = 0. Αυτό είναι αληθές. Αλλά:

2. A = C / B {\displaystyle A=C/B} $A=C/B$

(όπου B=0, οπότε απλά διαιρούμε με το μηδέν)

Το οποίο είναι το ίδιο με:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Το πρόβλημα είναι ότι το A {\displaystyle A} $A$ θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε αριθμός. Θα λειτουργούσε αν το A {\displaystyle A} $A$ ήταν 1 ή αν ήταν 1.000.000.000.000. Το 0/0 λέγεται ότι είναι "απροσδιόριστης μορφής" για το λόγο αυτό, επειδή δεν έχει μία και μοναδική τιμή. Οι αριθμοί της μορφής A/0, από την άλλη πλευρά, όπου το A {\displaystyle A} $A$ δεν είναι 0, λέγονται "απροσδιόριστοι" ή "απροσδιόριστοι". Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε προσπάθεια ορισμού τους θα οδηγήσει σε μια τιμή του απείρου, η οποία από μόνη της είναι απροσδιόριστη. Συνήθως όταν δύο αριθμοί είναι ίσοι με το ίδιο πράγμα, είναι ίσοι μεταξύ τους. Αυτό δεν ισχύει όταν το πράγμα με το οποίο είναι και οι δύο ίσοι είναι το 0/0. Αυτό σημαίνει ότι οι κανονικοί κανόνες των μαθηματικών δεν λειτουργούν όταν ο αριθμός διαιρείται με το μηδέν.

Λανθασμένες αποδείξεις που βασίζονται στη διαίρεση με το μηδέν

Είναι δυνατόν να μεταμφιέσουμε μια ειδική περίπτωση διαίρεσης με το μηδέν σε ένα αλγεβρικό επιχείρημα. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε άκυρες αποδείξεις, όπως το 1=2, όπως στο ακόλουθο παράδειγμα:

Με τις ακόλουθες παραδοχές:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\times 1&=0\\\0\times 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Τα ακόλουθα πρέπει να ισχύουν:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\times 1=0\times 2.\,} $0\times 1=0\times 2.\,$

Διαιρώντας με το μηδέν προκύπτει:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}}\times 1={\frac {0}{0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Απλοποιήστε:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Η πλάνη είναι η υπόθεση ότι η διαίρεση με το 0 είναι μια νόμιμη πράξη με 0/0 = 1.

Οι περισσότεροι άνθρωποι θα αναγνώριζαν πιθανότατα την παραπάνω "απόδειξη" ως λανθασμένη, αλλά το ίδιο επιχείρημα μπορεί να παρουσιαστεί με τρόπο που να δυσκολεύει τον εντοπισμό του λάθους. Για παράδειγμα, αν το 1 γράφεται ως x, τότε το 0 μπορεί να κρυφτεί πίσω από το x-x και το 2 πίσω από το x+x. Η προαναφερθείσα απόδειξη μπορεί τότε να εμφανιστεί ως εξής:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

επομένως:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . {\displaystyle (x-x)x=(x-x)(x+x).\,} $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Διαιρώντας με x - x προκύπτει:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

και διαιρώντας με το x προκύπτει:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Η παραπάνω "απόδειξη" είναι λανθασμένη επειδή διαιρείται με το μηδέν όταν διαιρείται με το x-x, επειδή κάθε αριθμός μείον τον εαυτό του είναι μηδέν.

Calculus

Στον λογισμό, οι παραπάνω "απροσδιόριστες μορφές" προκύπτουν επίσης ως αποτέλεσμα της άμεσης αντικατάστασης κατά την αξιολόγηση των ορίων.

Διαίρεση με το μηδέν στους υπολογιστές

Εάν ένα πρόγραμμα υπολογιστή προσπαθήσει να διαιρέσει έναν ακέραιο με το μηδέν, το λειτουργικό σύστημα συνήθως το εντοπίζει και σταματά το πρόγραμμα. Συνήθως θα εκτυπώσει ένα "μήνυμα σφάλματος" ή θα δώσει στον προγραμματιστή συμβουλές για το πώς να βελτιώσει το πρόγραμμα^[]. Η διαίρεση με το μηδέν είναι ένα συνηθισμένο σφάλμα στον προγραμματισμό υπολογιστών. Η διαίρεση αριθμών κινητής υποδιαστολής (δεκαδικών αριθμών) με το μηδέν θα έχει συνήθως ως αποτέλεσμα είτε το άπειρο είτε μια ειδική τιμή NaN (not a number), ανάλογα με το τι διαιρείται με το μηδέν.

Διαίρεση με το μηδέν στη γεωμετρία

Στη γεωμετρία 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Αυτό το άπειρο (προβολικό άπειρο) δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός, με τον ίδιο τρόπο που το μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποιο είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός αριθμού με το μηδέν;

A: Η διαίρεση ενός αριθμού με το μηδέν έχει ως αποτέλεσμα μια "απροσδιόριστη" ή "απροσδιόριστη μορφή", που σημαίνει ότι δεν έχει ενιαία τιμή.

Q: Τι σημαίνει 0/0;

Α: Το 0/0 λέγεται ότι έχει "απροσδιόριστη μορφή", επειδή δεν έχει καμία ενιαία τιμή.

Ερ: Τι συμβαίνει όταν δύο αριθμοί είναι ίσοι με το ίδιο πράγμα, αλλά αυτό το πράγμα είναι 0/0;

Α: Οι κανονικοί κανόνες των μαθηματικών δεν λειτουργούν όταν ο αριθμός διαιρείται με το μηδέν, οπότε οι δύο αριθμοί δεν θα ήταν ίσοι μεταξύ τους.

Ερ: Είναι αλήθεια ότι κάθε προσπάθεια ορισμού ενός αριθμού της μορφής Α/0 θα καταλήξει σε μια τιμή άπειρου;

Α: Ναι, κάθε προσπάθεια ορισμού ενός αριθμού της μορφής Α/0 (όπου το Α δεν είναι 0) θα έχει ως αποτέλεσμα την τιμή του απείρου, η οποία από μόνη της είναι απροσδιόριστη.

Ερ: Πώς μπορούμε να προσδιορίσουμε αν δύο αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους;

Α: Μπορούμε να προσδιορίσουμε αν δύο αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους, βλέποντας αν είναι και οι δύο ίσοι με το ίδιο πράγμα. Συνήθως αυτό λειτουργεί, ωστόσο αυτό δεν ισχύει όταν και οι δύο αριθμοί είναι ίσοι με 0/0.

Ερ: Υπάρχει εξαίρεση για τις περιπτώσεις που δεν μπορούμε να διαιρέσουμε έναν αριθμό με το μηδέν; Α: Ναι, στα μαθηματικά δεν είναι δυνατόν να διαιρέσουμε έναν αριθμό με το μηδέν.