Στην άλγεβρα, υπάρχουν μερικοί κανόνες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την περαιτέρω κατανόηση των εξισώσεων. Αυτοί ονομάζονται κανόνες της άλγεβρας. Ενώ αυτοί οι κανόνες μπορεί να φαίνονται παράλογοι ή προφανείς, είναι φρόνιμο να κατανοήσετε ότι αυτές οι ιδιότητες δεν ισχύουν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών. Ως εκ τούτου, θα ήταν χρήσιμο να γνωρίζουμε πώς δηλώνονται αυτοί οι αξιωματικοί κανόνες, πριν τους θεωρήσουμε δεδομένους. Πριν προχωρήσετε στους κανόνες, σκεφτείτε δύο ορισμούς που θα δοθούν.
- Το αντίθετο - το αντίθετο του {\displaystyle a}
είναι - ένα {\displaystyle -a} 
. - Αντίστροφο - το αντίστροφο του a {\displaystyle a} είναι 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
.
Κανόνες
Η αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης
'Commutative' σημαίνει ότι μια συνάρτηση έχει το ίδιο αποτέλεσμα αν οι αριθμοί αντικατασταθούν. Με άλλα λόγια, η σειρά των όρων σε μια εξίσωση δεν έχει σημασία. Όταν ο τελεστής δύο όρων είναι μια πρόσθεση, ισχύει η "αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης". Σε αλγεβρικούς όρους, αυτό δίνει a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 
.
Σημειώστε ότι αυτό δεν ισχύει για την αφαίρεση! (δηλ. a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a} 
)
Commutative ιδιότητα του πολλαπλασιασμού
Όταν ο τελεστής δύο όρων είναι ένας πολλαπλασιασμός, εφαρμόζεται η "αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού". Σε αλγεβρικούς όρους, αυτό δίνει a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} 
.
Σημειώστε ότι αυτό δεν ισχύει για τη διαίρεση! (δηλ. a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}} 
, όταν a ≠ b {\displaystyle a\neq b} 
)
Συσχετιστική ιδιότητα της πρόσθεσης
Ο όρος "συσχετισμός" αναφέρεται στην ομαδοποίηση των αριθμών. Η συνειρμική ιδιότητα της πρόσθεσης συνεπάγεται ότι, όταν προστίθενται τρεις ή περισσότεροι όροι, δεν έχει σημασία πώς ομαδοποιούνται αυτοί οι όροι. Αλγεβρικά, αυτό δίνει a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c} 
. Σημειώστε ότι αυτό δεν ισχύει για την αφαίρεση, π.χ. 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1=0-(0-1)\neq (0-0)-1=-1} 
(βλέπε διανεμητική ιδιότητα).
Συσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού
Η συνειρμική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού συνεπάγεται ότι, όταν πολλαπλασιάζουμε τρεις ή περισσότερους όρους, δεν έχει σημασία πώς αυτοί οι όροι ομαδοποιούνται. Αλγεβρικά, αυτό δίνει a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c} 
. Σημειώστε ότι αυτό δεν ισχύει για τη διαίρεση, π.χ. 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2=1/(1/2)\neq (1/1)/2=1/2} 
.
Διανεμητική ιδιότητα
Η διανεμητική ιδιότητα δηλώνει ότι ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με έναν άλλο όρο μπορεί να διανεμηθεί. Για παράδειγμα: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac} 
. (Μην το μπερδεύετε αυτό με τις συσχετιστικές ιδιότητες! Για παράδειγμα, a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c} 
.)
Προσθετική ιδιότητα ταυτότητας
Η "ταυτότητα" αναφέρεται στην ιδιότητα ενός αριθμού να είναι ίσος με τον εαυτό του. Με άλλα λόγια, υπάρχει μια πράξη δύο αριθμών έτσι ώστε να ισούται με τη μεταβλητή του αθροίσματος. Η προσθετική ιδιότητα της ταυτότητας δηλώνει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού και του 0 είναι αυτός ο αριθμός: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a} 
. Αυτό ισχύει και για την αφαίρεση: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a} 
.
Ιδιότητα πολλαπλασιαστικής ταυτότητας
Η πολλαπλασιαστική ιδιότητα ταυτότητας δηλώνει ότι το γινόμενο οποιουδήποτε αριθμού και του 1 είναι ο αριθμός αυτός: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a} 
. Αυτό ισχύει και για τη διαίρεση: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a} . 
Προσθετική αντίστροφη ιδιότητα
Η προσθετική αντίστροφη ιδιότητα είναι κάτι σαν το αντίθετο της προσθετικής ταυτότητας. Όταν μια πράξη είναι το άθροισμα ενός αριθμού και του αντιθέτου του και ισούται με 0, η πράξη αυτή είναι μια έγκυρη αλγεβρική πράξη. Αλγεβρικά, δηλώνει το εξής: a - a = 0 {\displaystyle a-a=0} 
. Το προσθετικό αντίστροφο του 1 είναι το (-1).
Πολλαπλασιαστική αντίστροφη ιδιότητα
Η πολλαπλασιαστική αντίστροφη ιδιότητα συνεπάγεται ότι όταν μια πράξη είναι το γινόμενο ενός αριθμού και του αντιστρόφου του και ισούται με 1, η πράξη αυτή είναι έγκυρη αλγεβρική πράξη. Αλγεβρικά, δηλώνει τα εξής: a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}=1} 
. Το πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του 2 είναι 1/2.
