Πολλές εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως μια σειρά από όρους που προστίθενται μαζί. Αυτό ονομάζεται σειρά Τέιλορ
Η εκθετική συνάρτηση e x {\displaystyle e^{x}}
μπορεί να γραφεί ως η σειρά Taylor
e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} 
Επίσης, το ημίτονο μπορεί να γραφτεί ως
sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ πάνω από 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} 
και Cosine ως
cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ πάνω από 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}} 
Εδώ, βλέπουμε ένα μοτίβο να παίρνει μορφή. e x {\displaystyle e^{x}} φαίνεται να είναι ένα άθροισμα των σειρών Taylor του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μόνο που όλα τα πρόσημα έχουν αλλάξει σε θετικά. Η ταυτότητα που στην πραγματικότητα αποδεικνύουμε είναι e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
.
Έτσι, στην αριστερή πλευρά είναι e i x {\displaystyle e^{ix}} 
, της οποίας η σειρά Taylor είναι 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } 
Μπορούμε να δούμε ένα μοτίβο εδώ, ότι κάθε δεύτερος όρος είναι i φορές οι όροι του ημιτόνου και ότι οι άλλοι όροι είναι οι όροι του συνημιτόνου.
Στη δεξιά πλευρά είναι cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} 
, της οποίας η σειρά Taylor είναι η σειρά Taylor του συνημιτόνου, συν i φορές τη σειρά Taylor του ημιτόνου, η οποία μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:
( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} 
αν τα προσθέσουμε όλα αυτά μαζί, έχουμε
1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }
Επομένως:
e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}
Τώρα αν αντικαταστήσουμε το x με το π {\displaystyle \pi } 
, έχουμε..
- e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}
Τότε γνωρίζουμε ότι
- cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1}
και
- sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0}
Επομένως:
- e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
- e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
QED
, Αριθμός του Euler
, φανταστική μονάδα
