Ταυτότητα του Όιλερ

Η ταυτότητα του Euler, που μερικές φορές ονομάζεται εξίσωση του Euler, είναι αυτή η εξίσωση:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π \displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Αριθμός του Euler

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , φανταστική μονάδα

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Η ταυτότητα του Euler πήρε το όνομά της από τον Ελβετό μαθηματικό Leonard Euler. Δεν είναι σαφές ότι την επινόησε ο ίδιος.

Οι ερωτηθέντες σε δημοσκόπηση του Physics World χαρακτήρισαν την ταυτότητα "την πιο βαθιά μαθηματική δήλωση που έχει γραφτεί ποτέ", "αλλόκοτη και μεγαλειώδη", "γεμάτη κοσμική ομορφιά" και "εντυπωσιακή".

Μαθηματική απόδειξη της ταυτότητας του Euler με χρήση της σειράς Taylor

Πολλές εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως μια σειρά από όρους που προστίθενται μαζί. Αυτό ονομάζεται σειρά Τέιλορ

Η εκθετική συνάρτηση e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ μπορεί να γραφεί ως η σειρά Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Επίσης, το ημίτονο μπορεί να γραφτεί ως

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \ πάνω από 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

και Cosine ως

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \ πάνω από 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Εδώ, βλέπουμε ένα μοτίβο να παίρνει μορφή. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ φαίνεται να είναι ένα άθροισμα των σειρών Taylor του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μόνο που όλα τα πρόσημα έχουν αλλάξει σε θετικά. Η ταυτότητα που στην πραγματικότητα αποδεικνύουμε είναι e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Έτσι, στην αριστερή πλευρά είναι e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ , της οποίας η σειρά Taylor είναι 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Μπορούμε να δούμε ένα μοτίβο εδώ, ότι κάθε δεύτερος όρος είναι i φορές οι όροι του ημιτόνου και ότι οι άλλοι όροι είναι οι όροι του συνημιτόνου.

Στη δεξιά πλευρά είναι cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , της οποίας η σειρά Taylor είναι η σειρά Taylor του συνημιτόνου, συν i φορές τη σειρά Taylor του ημιτόνου, η οποία μπορεί να αποδειχθεί ως εξής:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

αν τα προσθέσουμε όλα αυτά μαζί, έχουμε

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Επομένως:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Τώρα αν αντικαταστήσουμε το x με το π {\displaystyle \pi } $\pi$ , έχουμε..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Τότε γνωρίζουμε ότι

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

και

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Επομένως:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποια είναι η ταυτότητα του Euler;

A: Η ταυτότητα του Euler, που μερικές φορές αποκαλείται εξίσωση του Euler, είναι μια εξίσωση που διαθέτει τις μαθηματικές σταθερές pi, τον αριθμό του Euler και τη φανταστική μονάδα μαζί με τρεις από τις βασικές μαθηματικές πράξεις (πρόσθεση, πολλαπλασιασμός και εκθετικοποίηση). Η εξίσωση είναι e^(i*pi) + 1 = 0.

Ερ: Ποιος ήταν ο Λέοναρντ Όιλερ;

Α: Ο Leonard Euler ήταν ένας Ελβετός μαθηματικός από τον οποίο πήρε το όνομά του η ταυτότητα. Δεν είναι σαφές αν την επινόησε ο ίδιος.

Ερ: Ποιες είναι μερικές από τις αντιδράσεις στην ταυτότητα του Euler;

Α: Οι ερωτηθέντες σε δημοσκόπηση του Physics World χαρακτήρισαν την ταυτότητα "την πιο βαθιά μαθηματική δήλωση που έχει γραφτεί ποτέ", "αλλόκοτη και μεγαλειώδη", "γεμάτη κοσμική ομορφιά" και "εντυπωσιακή".

Ερ: Ποιες είναι μερικές από τις σταθερές που εμφανίζονται σε αυτή την εξίσωση;

A: Οι σταθερές που εμφανίζονται σε αυτή την εξίσωση είναι το π (περίπου 3,14159), ο αριθμός του Euler (περίπου 2,71828) και μια φανταστική μονάδα (ίση με -1).

Ερ: Ποιες είναι μερικές από τις πράξεις που εμφανίζονται σε αυτή την εξίσωση;

Α: Οι πράξεις που εμφανίζονται σε αυτή την εξίσωση είναι η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός και ο εκθετικός πολλαπλασιασμός.

Ερ: Πώς μπορούμε να εκφράσουμε το π με μαθηματικό τρόπο;

Α: Το π μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}.

Ερ: Πώς μπορούμε να εκφράσουμε μαθηματικά τον αριθμό του Euler; Α: Ο αριθμός του Euler μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828}.