Π (μαθηματική σταθερά)

Το π συχνά γράφεται επίσημα ως π ή το ελληνικό γράμμα π ως συντόμευση. Το π είναι επίσης ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα ( a b {\displaystyle a \over b} ), όπου "a" και "b" είναι ακέραιοι αριθμοί (ακέραιοι αριθμοί). Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι τα ψηφία του π που βρίσκονται στα δεξιά του δεκαδικού ψηφίου πηγαίνουν για πάντα χωρίς να επαναλαμβάνονται σε ένα μοτίβο και ότι είναι αδύνατο να γράψουμε την ακριβή τιμή του π ως αριθμό. Το π μπορεί μόνο να προσεγγιστεί ή να μετρηθεί σε μια τιμή που είναι αρκετά κοντά για πρακτικούς σκοπούς.

Μια τιμή κοντά στο π είναι 3,141592653589793238462643... Ένα συνηθισμένο κλάσμα που προσεγγίζει το π είναι 22 7 {\displaystyle 22 \over 7} , η οποία δίνει περίπου 3,14285714. Αυτή η προσέγγιση απέχει 0,04% από την πραγματική τιμή του pi. Ενώ αυτή η προσέγγιση είναι αποδεκτή για τις περισσότερες χρήσεις της στην πραγματική ζωή, το κλάσμα 355 113 {\displaystyle 355 \over 113} είναι πιο ακριβές (δίνει περίπου 3,14159292), και μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν χρειάζεται μια τιμή πιο κοντά στο π. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την καλύτερη προσέγγιση του pi.

Τον Μάρτιο του 2019 η Emma Haruka Iwao υπολόγισε την τιμή του pi σε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία.

Η τιμή του π ήταν γνωστή στους αρχαίους Ινδούς μαθηματικούς όπως ο Bhaskaracharya και ο Aryabhatta.

Οι μαθηματικοί γνωρίζουν το π εδώ και χιλιάδες χρόνια, επειδή ασχολούνται με κύκλους για το ίδιο χρονικό διάστημα. Πολιτισμοί τόσο παλιοί όσο οι Βαβυλώνιοι ήταν σε θέση να προσεγγίσουν το π σε πολλά ψηφία, όπως το κλάσμα 25/8 και το 256/81. Οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν είχαν καμία έννοια του π και ότι η αντιστοιχία είναι σύμπτωση.

Η πρώτη γραπτή αναφορά στο π χρονολογείται το 1900 π.Χ. Γύρω στο 1650 π.Χ. ο Αιγύπτιος Ahmes έδωσε μια τιμή στον πάπυρο Rhind. Οι Βαβυλώνιοι μπόρεσαν να βρουν ότι η τιμή του π ήταν ελαφρώς μεγαλύτερη από το 3 κάνοντας απλώς έναν μεγάλο κύκλο και κολλώντας ένα κομμάτι σχοινί στην περιφέρεια και τη διάμετρο, σημειώνοντας τις αποστάσεις τους και διαιρώντας στη συνέχεια την περιφέρεια με τη διάμετρο.

Η γνώση του αριθμού π πέρασε πίσω στην Ευρώπη και στα χέρια των Εβραίων, οι οποίοι έδωσαν σημασία στον αριθμό σε ένα τμήμα της Βίβλου που ονομάζεται Παλαιά Διαθήκη. Μετά από αυτό, ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να προσπαθήσει κανείς να βρει το π ήταν να σχεδιάσει ένα σχήμα με πολλές πλευρές μέσα σε οποιονδήποτε κύκλο και να χρησιμοποιήσει το εμβαδόν του σχήματος για να βρει το π. Ο Έλληνας φιλόσοφος Αρχιμήδης, για παράδειγμα, χρησιμοποίησε ένα σχήμα πολυγώνου που είχε 96 πλευρές για να βρει την τιμή του π, αλλά οι Κινέζοι το 500 μ.Χ. μπόρεσαν να χρησιμοποιήσουν ένα πολύγωνο με 16.384 πλευρές για να βρουν την τιμή του π. Οι Έλληνες, όπως ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές, ασχολήθηκαν επίσης με την ανακάλυψη άλλων ιδιοτήτων του κύκλου, όπως το πώς να φτιάχνουν τετράγωνα από κύκλους και να τετραγωνίζουν τον αριθμό π. Έκτοτε, πολλοί άνθρωποι προσπαθούν να βρουν όλο και πιο ακριβείς τιμές του π.

Τον 16ο αιώνα, όλο και καλύτεροι τρόποι εύρεσης του π έγιναν διαθέσιμοι, όπως ο περίπλοκος τύπος που ανέπτυξε ο Γάλλος δικηγόρος François Viète. Η πρώτη χρήση του ελληνικού συμβόλου "π" έγινε σε ένα δοκίμιο που γράφτηκε το 1706 από τον William Jones.

Ένας μαθηματικός ονόματι Lambert έδειξε επίσης το 1761 ότι ο αριθμός π είναι ανορθολογικός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με τα συνήθη πρότυπα. Ένας άλλος μαθηματικός με το όνομα Lindeman μπόρεσε επίσης να δείξει το 1882 ότι το π ανήκε στην ομάδα αριθμών που είναι γνωστοί ως υπερβατικοί, οι οποίοι είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αποτελέσουν τη λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης.

Το π μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πολλών άλλων πραγμάτων εκτός από κύκλους. Οι ιδιότητες του π έχουν επιτρέψει τη χρήση του σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών εκτός από τη γεωμετρία, η οποία μελετά τα σχήματα. Ορισμένοι από αυτούς τους τομείς είναι η σύνθετη ανάλυση, η τριγωνομετρία και οι σειρές.

Σήμερα, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τον υπολογισμό πολλών ψηφίων του π. Ωστόσο, η χρήση τους είναι περιορισμένη.

Το π μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί το εμβαδόν ή η περιφέρεια οποιουδήποτε κύκλου. Για να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου, χρησιμοποιήστε τον τύπο C (περιφέρεια) = π επί τη διάμετρο. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου, χρησιμοποιήστε τον τύπο π (ακτίνα²). Αυτός ο τύπος μερικές φορές γράφεται ως A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} , όπου r είναι η μεταβλητή για την ακτίνα οποιουδήποτε κύκλου και Α είναι η μεταβλητή για το εμβαδόν αυτού του κύκλου.

Να υπολογίσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με σφάλμα 1 mm:

• Για ακτίνα 30 μέτρων απαιτούνται 4 ψηφία.
• 10 ψηφία για ακτίνα ίση με την ακτίνα της γης
• 15 ψηφία για ακτίνα ίση με την απόσταση της γης από τον ήλιο.

Οι άνθρωποι γενικά γιορτάζουν την 14η Μαρτίου ως Ημέρα του Πι, επειδή η 14η Μαρτίου γράφεται επίσης ως 3/14, που αντιπροσωπεύει τους τρεις πρώτους αριθμούς 3,14 στην προσέγγιση του π. Η ημέρα Πι ξεκίνησε το 2001.

• Κύκλος