Π (μαθηματική σταθερά)

Το π (ή π) είναι μια μαθηματική σταθερά. Είναι ο λόγος της απόστασης γύρω από έναν κύκλο προς τη διάμετρο του κύκλου. Αυτό παράγει έναν αριθμό και αυτός ο αριθμός είναι πάντα ο ίδιος. Ωστόσο, ο αριθμός είναι μάλλον παράξενος. Ο αριθμός ξεκινά ως 3,141592653589793... και συνεχίζει χωρίς τέλος. Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί.

Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή που μπορεί να χωρέσει στο εσωτερικό ενός κύκλου. Διέρχεται από το κέντρο του κύκλου. Η απόσταση γύρω από έναν κύκλο είναι γνωστή ως περιφέρεια. Παρόλο που η διάμετρος και η περιφέρεια είναι διαφορετικές για διαφορετικούς κύκλους, ο αριθμός π παραμένει σταθερός: η τιμή του δεν αλλάζει ποτέ. Αυτό συμβαίνει επειδή η σχέση μεταξύ περιφέρειας και διαμέτρου είναι πάντα η ίδια.

π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} $\pi ={\frac {C}{d}}$ (το π ισούται με την περιφέρεια διαιρούμενη με τη διάμετρο).

Το Πι είναι μια ατελείωτη σειρά αριθμών

Προσέγγιση

Το π συχνά γράφεται επίσημα ως $π$ ή το ελληνικό γράμμα π ως συντόμευση. Το π είναι επίσης ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα ( a b {\displaystyle a \over b} $a \over b$ ), όπου "a" και "b" είναι ακέραιοι αριθμοί (ακέραιοι αριθμοί). Αυτό ουσιαστικά σημαίνει ότι τα ψηφία του π που βρίσκονται στα δεξιά του δεκαδικού ψηφίου πηγαίνουν για πάντα χωρίς να επαναλαμβάνονται σε ένα μοτίβο και ότι είναι αδύνατο να γράψουμε την ακριβή τιμή του π ως αριθμό. Το π μπορεί μόνο να προσεγγιστεί ή να μετρηθεί σε μια τιμή που είναι αρκετά κοντά για πρακτικούς σκοπούς.

Μια τιμή κοντά στο π είναι 3,141592653589793238462643... Ένα συνηθισμένο κλάσμα που προσεγγίζει το π είναι 22 7 {\displaystyle 22 \over 7} $22 \over 7$ , η οποία δίνει περίπου 3,14285714. Αυτή η προσέγγιση απέχει 0,04% από την πραγματική τιμή του pi. Ενώ αυτή η προσέγγιση είναι αποδεκτή για τις περισσότερες χρήσεις της στην πραγματική ζωή, το κλάσμα 355 113 {\displaystyle 355 \over 113} $355 \over 113$ είναι πιο ακριβές (δίνει περίπου 3,14159292), και μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν χρειάζεται μια τιμή πιο κοντά στο π. Οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την καλύτερη προσέγγιση του pi.

Τον Μάρτιο του 2019 η Emma Haruka Iwao υπολόγισε την τιμή του pi σε 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία.

Ένα διάγραμμα που δείχνει πώς μπορεί να βρεθεί το π χρησιμοποιώντας έναν κύκλο με διάμετρο ένα. Η περιφέρεια αυτού του κύκλου είναι π.

Ιστορία

Η τιμή του π ήταν γνωστή στους αρχαίους Ινδούς μαθηματικούς όπως ο Bhaskaracharya και ο Aryabhatta.

Οι μαθηματικοί γνωρίζουν το π εδώ και χιλιάδες χρόνια, επειδή ασχολούνται με κύκλους για το ίδιο χρονικό διάστημα. Πολιτισμοί τόσο παλιοί όσο οι Βαβυλώνιοι ήταν σε θέση να προσεγγίσουν το π σε πολλά ψηφία, όπως το κλάσμα 25/8 και το 256/81. Οι περισσότεροι ιστορικοί πιστεύουν ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν είχαν καμία έννοια του π και ότι η αντιστοιχία είναι σύμπτωση.

Η πρώτη γραπτή αναφορά στο π χρονολογείται το 1900 π.Χ. Γύρω στο 1650 π.Χ. ο Αιγύπτιος Ahmes έδωσε μια τιμή στον πάπυρο Rhind. Οι Βαβυλώνιοι μπόρεσαν να βρουν ότι η τιμή του π ήταν ελαφρώς μεγαλύτερη από το 3 κάνοντας απλώς έναν μεγάλο κύκλο και κολλώντας ένα κομμάτι σχοινί στην περιφέρεια και τη διάμετρο, σημειώνοντας τις αποστάσεις τους και διαιρώντας στη συνέχεια την περιφέρεια με τη διάμετρο.

Η γνώση του αριθμού π πέρασε πίσω στην Ευρώπη και στα χέρια των Εβραίων, οι οποίοι έδωσαν σημασία στον αριθμό σε ένα τμήμα της Βίβλου που ονομάζεται Παλαιά Διαθήκη. Μετά από αυτό, ο πιο συνηθισμένος τρόπος για να προσπαθήσει κανείς να βρει το π ήταν να σχεδιάσει ένα σχήμα με πολλές πλευρές μέσα σε οποιονδήποτε κύκλο και να χρησιμοποιήσει το εμβαδόν του σχήματος για να βρει το π. Ο Έλληνας φιλόσοφος Αρχιμήδης, για παράδειγμα, χρησιμοποίησε ένα σχήμα πολυγώνου που είχε 96 πλευρές για να βρει την τιμή του π, αλλά οι Κινέζοι το 500 μ.Χ. μπόρεσαν να χρησιμοποιήσουν ένα πολύγωνο με 16.384 πλευρές για να βρουν την τιμή του π. Οι Έλληνες, όπως ο Αναξαγόρας από τις Κλαζομενές, ασχολήθηκαν επίσης με την ανακάλυψη άλλων ιδιοτήτων του κύκλου, όπως το πώς να φτιάχνουν τετράγωνα από κύκλους και να τετραγωνίζουν τον αριθμό π. Έκτοτε, πολλοί άνθρωποι προσπαθούν να βρουν όλο και πιο ακριβείς τιμές του π.

Μια ιστορία του pi
Φιλόσοφος	Ημερομηνία	Προσέγγιση
Κλαύδιος Πτολεμαίος	γύρω στο 150 μ.Χ.	3.1416
Zu Chongzhi	430-501 CE	3.1415929203
al-Khwarizmi	γύρω στο 800 μ.Χ.	3.1416
al-Kashi	γύρω στο 1430	3.14159265358979
Viète	1540-1603	3.141592654
Roomen	1561-1615	3.14159265358979323
Van Ceulen	γύρω στο 1600	3.14159265358979323846264338327950288

Τον 16ο αιώνα, όλο και καλύτεροι τρόποι εύρεσης του π έγιναν διαθέσιμοι, όπως ο περίπλοκος τύπος που ανέπτυξε ο Γάλλος δικηγόρος François Viète. Η πρώτη χρήση του ελληνικού συμβόλου "π" έγινε σε ένα δοκίμιο που γράφτηκε το 1706 από τον William Jones.

Ένας μαθηματικός ονόματι Lambert έδειξε επίσης το 1761 ότι ο αριθμός π είναι ανορθολογικός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα με τα συνήθη πρότυπα. Ένας άλλος μαθηματικός με το όνομα Lindeman μπόρεσε επίσης να δείξει το 1882 ότι το π ανήκε στην ομάδα αριθμών που είναι γνωστοί ως υπερβατικοί, οι οποίοι είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αποτελέσουν τη λύση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης.

Το π μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό πολλών άλλων πραγμάτων εκτός από κύκλους. Οι ιδιότητες του π έχουν επιτρέψει τη χρήση του σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών εκτός από τη γεωμετρία, η οποία μελετά τα σχήματα. Ορισμένοι από αυτούς τους τομείς είναι η σύνθετη ανάλυση, η τριγωνομετρία και οι σειρές.

Pi στην πραγματική ζωή

Σήμερα, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τον υπολογισμό πολλών ψηφίων του π. Ωστόσο, η χρήση τους είναι περιορισμένη.

Το π μπορεί μερικές φορές να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστεί το εμβαδόν ή η περιφέρεια οποιουδήποτε κύκλου. Για να βρείτε την περιφέρεια ενός κύκλου, χρησιμοποιήστε τον τύπο C (περιφέρεια) = π επί τη διάμετρο. Για να βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου, χρησιμοποιήστε τον τύπο π (ακτίνα²). Αυτός ο τύπος μερικές φορές γράφεται ως A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} $A=\pi r^{2}$ , όπου r είναι η μεταβλητή για την ακτίνα οποιουδήποτε κύκλου και Α είναι η μεταβλητή για το εμβαδόν αυτού του κύκλου.

Να υπολογίσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με σφάλμα 1 mm:

Για ακτίνα 30 μέτρων απαιτούνται 4 ψηφία.
10 ψηφία για ακτίνα ίση με την ακτίνα της γης
15 ψηφία για ακτίνα ίση με την απόσταση της γης από τον ήλιο.

Οι άνθρωποι γενικά γιορτάζουν την 14η Μαρτίου ως Ημέρα του Πι, επειδή η 14η Μαρτίου γράφεται επίσης ως 3/14, που αντιπροσωπεύει τους τρεις πρώτους αριθμούς 3,14 στην προσέγγιση του π. Η ημέρα Πι ξεκίνησε το 2001.

Σχετικές σελίδες

Κύκλος

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποιος είναι ο αριθμός ً;

A: Το ً είναι μια μαθηματική σταθερά που είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Ερ: Τι παράγει αυτό;

Α: Αυτό παράγει έναν αριθμό, και αυτός ο αριθμός είναι πάντα ο ίδιος.

Ερ: Πώς ξεκινάει αυτός ο αριθμός;

Α: Ο αριθμός ξεκινά ως 3,141592653589793... και συνεχίζει χωρίς τέλος.

Ερ: Τι είδους αριθμοί είναι αυτοί;

Α: Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί.

Ερ: Ποια είναι η διάμετρος ενός κύκλου;

Α: Η διάμετρος ενός κύκλου είναι η μεγαλύτερη χορδή που μπορεί να χωρέσει στο εσωτερικό του, περνώντας από το κέντρο του.
Ερ: Τι είναι η περιφέρεια ενός κύκλου; Α: Η απόσταση γύρω από έναν κύκλο είναι γνωστή ως περιφέρεια του.

Ερ: Το π παραμένει σταθερό ανεξάρτητα από διαφορετικούς κύκλους; Α: Ναι, το π παραμένει σταθερό ανεξάρτητα από διαφορετικούς κύκλους, επειδή η σχέση μεταξύ της περιφέρειας και της διαμέτρου τους παραμένει πάντα η ίδια.