Σειρά Τέιλορ

Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων ο Ελεάτης σκέφτηκε πρώτος την ιδέα αυτής της σειράς. Το παράδοξο που ονομάζεται "παράδοξο του Ζήνωνα" το αποτέλεσμα. Πίστευε ότι θα ήταν αδύνατο να προσθέσουμε έναν άπειρο αριθμό τιμών και να πάρουμε ως αποτέλεσμα μία μόνο πεπερασμένη τιμή.

Ένας άλλος Έλληνας φιλόσοφος, ο Αριστοτέλης, έδωσε μια απάντηση στο φιλοσοφικό ερώτημα. Ο Αρχιμήδης, ωστόσο, ήταν αυτός που βρήκε μια μαθηματική λύση χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της εξάντλησης. Μπόρεσε να αποδείξει ότι όταν κάτι χωρίζεται σε άπειρα μικροσκοπικά κομμάτια, αυτά θα εξακολουθήσουν να αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο όταν όλα αυτά προστεθούν ξανά μαζί. Ο αρχαίος Κινέζος μαθηματικός Liu Hui απέδειξε το ίδιο πράγμα αρκετές εκατοντάδες χρόνια αργότερα.

Τα παλαιότερα γνωστά παραδείγματα της σειράς Taylor είναι το έργο του Mādhava του Sañgamāgrama στην Ινδία το 1300. Μεταγενέστεροι Ινδοί μαθηματικοί έγραψαν για το έργο του με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις του ημιτόνου, του συνημιτόνου, της εφαπτομένης και της ορθογωνίου. Κανένα από τα γραπτά ή τα αρχεία του Mādhava δεν υπάρχει ακόμη σήμερα. Άλλοι μαθηματικοί βασίστηκαν στις ανακαλύψεις του Mādhava και εργάστηκαν περισσότερο με αυτές τις σειρές μέχρι το 1500.

Ο Τζέιμς Γκρέγκορι, ένας Σκωτσέζος μαθηματικός, εργάστηκε σε αυτόν τον τομέα τη δεκαετία του 1600. Ο Gregory μελέτησε τις σειρές Taylor και δημοσίευσε αρκετές σειρές Maclaurin. Το 1715, ο Μπρουκ Τέιλορ ανακάλυψε μια γενική μέθοδο για την εφαρμογή της σειράς σε όλες τις συναρτήσεις. (Όλες οι προηγούμενες έρευνες έδειχναν πώς να εφαρμόζεται η μέθοδος μόνο σε συγκεκριμένες συναρτήσεις). Ο Colin Maclaurin δημοσίευσε μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor στη δεκαετία του 1700. Αυτή η σειρά, η οποία βασίζεται γύρω από το μηδέν, ονομάζεται σειρά Maclaurin.

Μια σειρά Taylor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή οποιασδήποτε συνάρτησης ƒ(x) που είναι ομαλή συνάρτηση (ή, με μαθηματικούς όρους, "απείρως διαφορίσιμη") Η συνάρτηση ƒ μπορεί να είναι είτε πραγματική είτε μιγαδική. Η σειρά Taylor χρησιμοποιείται στη συνέχεια για να περιγράψει πώς μοιάζει η συνάρτηση στη γειτονιά κάποιου αριθμού a.

Αυτή η σειρά Taylor, γραμμένη ως δυναμοσειρά, έχει την εξής μορφή:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Ο τύπος αυτός μπορεί επίσης να γραφτεί σε συμβολισμό σίγμα ως εξής:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}}\,(x-a)^{n}}}

Εδώ n! είναι το παραγοντικό του n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) είναι η n-οστή παράγωγος του ƒ στο σημείο a. a {\displaystyle a} είναι ένας αριθμός στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αν η σειρά Taylor μιας συνάρτησης είναι ίση με τη συνάρτηση αυτή, η συνάρτηση ονομάζεται "αναλυτική συνάρτηση".

Σειρά Maclaurin

Όταν a = 0 {\displaystyle a=0} , η συνάρτηση ονομάζεται σειρά Maclaurin. Η σειρά Maclaurin γραμμένη ως δυναμοσειρά έχει την εξής μορφή:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Όταν γράφεται σε συμβολισμό σίγμα, η σειρά Maclaurin είναι:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}\,x^{n}}

Ορισμένες σημαντικές σειρές Taylor και Maclaurin είναι οι ακόλουθες.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ για όλα τα x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ για όλα τα x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 για όλα τα x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n για όλα τα x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ για όλα τα x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ for all | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n για όλα τα | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ for | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\! }

Όπου B n {\displaystyle B_{n}} είναι ο n-οστός αριθμός Bernoulli και ln {\displaystyle \ln } είναι ο φυσικός λογάριθμος.