Η αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ

Σύγχυση με το φαινόμενο του παρατηρητή

Ιστορικά, η αρχή της αβεβαιότητας έχει συγχέεται με ένα κάπως παρόμοιο φαινόμενο στη φυσική, που ονομάζεται φαινόμενο του παρατηρητή. Αυτό λέει ότι οι μετρήσεις ορισμένων συστημάτων δεν μπορούν να γίνουν χωρίς να επηρεαστούν τα συστήματα. Ο Χάιζενμπεργκ προσέφερε ένα τέτοιο φαινόμενο παρατηρητή στο κβαντικό επίπεδο ως φυσική "εξήγηση" της κβαντικής αβεβαιότητας.

Ωστόσο, είναι πλέον σαφές ότι η αρχή της αβεβαιότητας αποτελεί ιδιότητα όλων των κυματοειδών συστημάτων. Προκύπτει στην κβαντομηχανική απλώς λόγω της κυματικής φύσης της ύλης όλων των κβαντικών αντικειμένων. Έτσι, η αρχή της αβεβαιότητας δηλώνει στην πραγματικότητα μια θεμελιώδη ιδιότητα των κβαντικών συστημάτων και δεν αποτελεί δήλωση σχετικά με την παρατηρησιακή επιτυχία της τρέχουσας τεχνολογίας. "Μέτρηση" δεν σημαίνει απλώς μια διαδικασία στην οποία συμμετέχει ένας φυσικός-παρατηρητής, αλλά μάλλον κάθε αλληλεπίδραση μεταξύ κλασικών και κβαντικών αντικειμένων ανεξάρτητα από οποιονδήποτε παρατηρητή.

Η ιδέα της απροσδιοριστίας

Η αρχή της αβεβαιότητας προήλθε από τη μηχανική του Werner Heisenberg. Ο Μαξ Πλανκ γνώριζε ήδη ότι η ενέργεια μιας μονάδας φωτός είναι ανάλογη της συχνότητας αυτής της μονάδας φωτός ( E ∝ ν {\displaystyle E\propto \nu } ), και ότι το ποσό της ενέργειας μπορεί να εκφραστεί με γνωστούς όρους όπως το τζάουλ χρησιμοποιώντας μια σταθερά αναλογικότητας. Η σταθερά που έδωσε στον κόσμο ονομάζεται σήμερα σταθερά του Planck και παριστάνεται με το γράμμα h. Όταν χρησιμοποιούνται πίνακες για την έκφραση της κβαντομηχανικής, συχνά δύο πίνακες πρέπει να πολλαπλασιαστούν για να προκύψει ένας τρίτος πίνακας που δίνει την απάντηση που προσπαθεί να βρει ο φυσικός. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα όπως ο P (για την ορμή) με έναν πίνακα όπως ο X (για τη θέση) δίνει έναν διαφορετικό πίνακα απάντησης από αυτόν που παίρνετε όταν πολλαπλασιάζετε τον X με τον P. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του P με τον X και του X με τον P και στη συνέχεια της σύγκρισής τους περιλαμβάνει πάντα τη σταθερά Planck ως παράγοντα. Ο αριθμός που χρησιμοποιείται για να γραφτεί η σταθερά του Planck εξαρτάται πάντα από το σύστημα μέτρησης που χρησιμοποιείται. (Με ένα συγκεκριμένο σύστημα μέτρησης, η αριθμητική της τιμή είναι ένα.) Η κλίση της γραμμής στο διάγραμμα στα δεξιά που δείχνει το λόγο της συχνότητας προς την ενέργεια εξαρτάται επίσης από το σύστημα μέτρησης που έχει επιλεγεί.

Τα ακόλουθα διαγράμματα δείχνουν τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να μετρήσουμε τόσο τη θέση όσο και την ορμή.

Το πρακτικό αποτέλεσμα αυτής της μαθηματικής ανακάλυψης είναι ότι όταν ένας φυσικός κάνει πιο σαφή τη θέση, τότε η ορμή γίνεται λιγότερο σαφής, και ότι όταν ο φυσικός κάνει πιο σαφή την ορμή, τότε η θέση γίνεται λιγότερο σαφής. Ο Χάιζενμπεργκ έλεγε ότι τα πράγματα είναι "απροσδιόριστα", και σε άλλους ανθρώπους άρεσε να λένε ότι είναι "αβέβαια". Αλλά τα μαθηματικά δείχνουν ότι είναι τα πράγματα στον κόσμο που είναι απροσδιόριστα ή "ασαφή" και όχι ότι απλώς οι άνθρωποι είναι αβέβαιοι για το τι συμβαίνει.

Ευρεία οπή, ευκρινής εστίαση


Στενεύοντας το χάσμα αυξάνεται η βεβαιότητα για το πού βρίσκεται το φωτόνιο στη μέση, αλλά τότε η κατεύθυνσή του από εκεί προς την οθόνη ανίχνευσης στα δεξιά γίνεται αντίστοιχα πιο αβέβαιη.


Στενή οπή, διάχυτη εστίαση


Η ανάρτηση του κεντρικού διακένου με ελατήρια επιτρέπει τη μέτρηση της ορμής, αλλά μετακινεί απρόβλεπτα το διάκενο με αποτέλεσμα να χάνονται πληροφορίες σχετικά με τη θέση του φωτονίου στο κέντρο.


Μέτρα οπής τοποθετημένα με ελατήριο

Θέτοντας την απροσδιοριστία σε μαθηματική μορφή

Εδώ θα παρουσιάσουμε την πρώτη εξίσωση που έδωσε τη βασική ιδέα που παρουσιάστηκε αργότερα στην αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ.

Η πρωτοποριακή εργασία του Χάιζενμπεργκ του 1925 δεν χρησιμοποιεί και δεν αναφέρει καν πίνακες. Η μεγάλη επιτυχία του Χάιζενμπεργκ ήταν το "σχήμα που ήταν κατ' αρχήν ικανό να προσδιορίσει μοναδικά τις σχετικές φυσικές ιδιότητες (συχνότητες μετάβασης και πλάτη)" της ακτινοβολίας υδρογόνου.

Αφού ο Χάιζενμπεργκ έγραψε το πρωτοποριακό του έγγραφο, το έδωσε σε έναν από τους καθηγητές του για να το διορθώσει και πήγε διακοπές. Ο Μαξ Μπορν προβληματίστηκε από τις εξισώσεις και τις εξισώσεις που δεν είχαν σχέση με την επικοινωνία και που ακόμη και ο Χάιζενμπεργκ θεωρούσε ότι αποτελούσαν πρόβλημα. Μετά από αρκετές ημέρες ο Born συνειδητοποίησε ότι οι εξισώσεις αυτές ήταν οδηγίες για τη σύνταξη πινάκων. Οι πίνακες ήταν νέοι και παράξενοι, ακόμη και για τους μαθηματικούς της εποχής εκείνης, αλλά το πώς να κάνεις μαθηματικά με αυτούς ήταν ήδη σαφώς γνωστό. Αυτός και μερικοί άλλοι επεξεργάστηκαν τα πάντα σε μορφή πινάκων πριν επιστρέψει ο Χάιζενμπεργκ από το ρεπό του, και μέσα σε λίγους μήνες η νέα κβαντομηχανική σε μορφή πινάκων τους έδωσε τη βάση για μια άλλη εργασία.

Ο Max Born είδε ότι όταν υπολογίζονταν οι πίνακες που αντιπροσωπεύουν τα pq και qp δεν ήταν ίσοι. Ο Χάιζενμπεργκ είχε ήδη δει το ίδιο πράγμα όσον αφορά τον αρχικό του τρόπο γραφής των πραγμάτων, και ο Χάιζενμπεργκ μπορεί να είχε μαντέψει αυτό που ήταν σχεδόν αμέσως προφανές για τον Μπορν - ότι η διαφορά μεταξύ των πινάκων απάντησης για pq και για qp θα περιλαμβάνει πάντα δύο παράγοντες που προέκυψαν από τα αρχικά μαθηματικά του Χάιζενμπεργκ: Η σταθερά του Planck h και το i, το οποίο είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού 1. Έτσι, η ίδια η ιδέα αυτού που ο Χάιζενμπεργκ προτίμησε να ονομάσει "αρχή της απροσδιοριστίας" (συνήθως γνωστή ως αρχή της αβεβαιότητας) κρυβόταν στις αρχικές εξισώσεις του Χάιζενμπεργκ.

Ο Χάιζενμπεργκ εξέταζε τις αλλαγές που συμβαίνουν σε ένα άτομο όταν ένα ηλεκτρόνιο αλλάζει το ενεργειακό του επίπεδο και έτσι πλησιάζει στο κέντρο του ατόμου ή απομακρύνεται από το κέντρο του, και, ιδιαίτερα, τις καταστάσεις στις οποίες ένα ηλεκτρόνιο πέφτει σε μια χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση σε δύο βήματα. Ο Max Born εξήγησε πώς πήρε την παράξενη "συνταγή" του Heisenberg για την εύρεση του γινομένου, C, κάποιας αλλαγής σε ένα άτομο από το ενεργειακό επίπεδο n στο ενεργειακό επίπεδο n-b, η οποία περιελάμβανε το άθροισμα του πολλαπλασιασμού μιας αλλαγής σε κάτι που ονομάζεται A (που θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, η συχνότητα κάποιου φωτονίου) που παράγεται από μια αλλαγή της ενέργειας ενός ηλεκτρονίου στο άτομο μεταξύ της ενεργειακής κατάστασης n και της ενεργειακής κατάστασης n-a) με μια επόμενη αλλαγή σε κάτι που ονομάζεται B (που θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, το πλάτος μιας αλλαγής) που παράγεται από μια άλλη αλλαγή στην ενεργειακή κατάσταση από το n-a στο n-b):

C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=\sum _{a}^{}\\,A(n,n-a)B(n-a,n-b)}

και ανακάλυψε κάτι πρωτοποριακό:

Με την εξέταση ...παραδειγμάτων...[ο Χάιζενμπεργκ] βρήκε αυτόν τον κανόνα.... Αυτό έγινε το καλοκαίρι του 1925. Ο Heisenberg... πήρε άδεια απουσίας... και παρέδωσε την εργασία του σε μένα για δημοσίευση....

Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού του Χάιζενμπεργκ δεν με άφησε σε ησυχία, και μετά από μια εβδομάδα εντατικής σκέψης και δοκιμών, θυμήθηκα ξαφνικά μια αλγεβρική θεωρία....Τέτοιες τετραγωνικές συστοιχίες είναι αρκετά οικείες στους μαθηματικούς και ονομάζονται πίνακες, σε συνδυασμό με έναν ορισμένο κανόνα πολλαπλασιασμού. Εφάρμοσα αυτόν τον κανόνα στην κβαντική συνθήκη του Χάιζενμπεργκ και διαπίστωσα ότι συμφωνούσε για τα διαγώνια στοιχεία. Ήταν εύκολο να μαντέψω ποια πρέπει να είναι τα υπόλοιπα στοιχεία, δηλαδή μηδενικά- και αμέσως βρέθηκε μπροστά μου ο παράξενος τύπος

Q P - P Q = i h 2 π {\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}
[Το σύμβολο Q είναι ο πίνακας για τη μετατόπιση, P είναι ο πίνακας για την ορμή, i συμβολίζει την τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας και h είναι η σταθερά του Planck].

Αργότερα, ο Χάιζενμπεργκ έθεσε την ανακάλυψή του σε άλλη μαθηματική μορφή:

Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}

(Το ειδικό σύμβολο ℏ {\displaystyle {\hbar }} ονομάζεται "h-bar" ή "μειωμένη σταθερά του Planks", είναι ίσο με h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}.)

Τα μαθηματικά είναι ένας τρόπος περιγραφής πραγμάτων που συμβαίνουν στον πραγματικό κόσμο. Θα μπορούσατε να φανταστείτε ότι θα ήταν εύκολο να λάβετε ταυτόχρονα τόσο την ακριβή θέση κάποιου πράγματος όσο και την ακριβή μάζα, διαδρομή και ταχύτητά του. Ωστόσο, στην πραγματικότητα πρέπει να κάνετε δύο πράγματα για να πάρετε την απάντησή σας. Αν μετράτε τη θέση και την ορμή μιας σφαίρας που έχει κολλήσει σε έναν βράχο ενός μεγάλου βουνού κάπου, είναι μια απλή υπόθεση. Το βουνό δεν φαίνεται να πηγαίνει πουθενά, ούτε και η σφαίρα. Άρα η θέση της είναι γνωστή και η ταχύτητά της είναι 0, άρα και η ορμή της είναι επίσης 0. Αν όμως η σφαίρα βρίσκεται κάπου μεταξύ ενός όπλου και ενός στόχου, θα είναι δύσκολο να λάβετε τη θέση της ανά πάσα στιγμή. Το καλύτερο που ίσως μπορούμε να κάνουμε είναι να τη φωτογραφίσουμε χρησιμοποιώντας μια φωτογραφική μηχανή με πολύ γρήγορο κλείστρο. Αλλά ένα απλό πάτημα του κλείστρου θα μας έδινε μόνο ένα πράγμα, τη θέση της σφαίρας τη στιγμή t. Για να πάρουμε την ορμή θα μπορούσαμε να βάλουμε ένα μπλοκ παραφίνης στο δρόμο της σφαίρας και να μετρήσουμε πώς κινήθηκε το μπλοκ παραφίνης όταν σταμάτησε τη σφαίρα. Ή, αν γνωρίζαμε τη μάζα της σφαίρας, θα μπορούσαμε να πάρουμε μια ακολουθία δύο φωτογραφιών, να υπολογίσουμε την ταχύτητα γνωρίζοντας τη διαφορά μεταξύ των δύο θέσεων της σφαίρας και το χρόνο μεταξύ των δύο εμφανίσεών της. Όπως και να το κάνουμε, πρέπει να μετρήσουμε τη μάζα και τη θέση και το χρόνο μεταξύ των εμφανίσεων. Καταλήγουμε να κάνουμε τουλάχιστον δύο μετρήσεις για να φτάσουμε στα x και p. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να επιλέξουμε ποια μέτρηση θα κάνουμε πρώτη και ποια δεύτερη. Φαίνεται ότι δεν έχει καμία διαφορά με ποια σειρά θα γίνουν οι μετρήσεις μας. Το να μετρήσουμε τη μάζα της σφαίρας και μετά να μετρήσουμε τις θέσεις της δύο φορές ή να μετρήσουμε τις θέσεις της σφαίρας δύο φορές και μετά να ανακτήσουμε τη σφαίρα και να μετρήσουμε τη μάζα της δεν θα είχε καμία διαφορά, έτσι δεν είναι; Εξάλλου, δεν έχουμε κάνει τίποτα στη σφαίρα όταν τη ζυγίζουμε ή όταν τη φωτογραφίζουμε.

Στην πολύ μικρή κλίμακα, όταν μετράμε κάτι όπως ένα ηλεκτρόνιο, ωστόσο, κάθε μέτρηση κάνει κάτι σε αυτό. Αν μετρήσουμε πρώτα τη θέση, τότε αλλάζουμε το momemtum του κατά τη διαδικασία. Αν μετρήσουμε πρώτα την ορμή του ηλεκτρονίου, τότε αλλάζουμε τη θέση του κατά τη διαδικασία. Η ελπίδα μας θα ήταν να μετρήσουμε το ένα από τα δύο και μετά το άλλο πριν αλλάξει κάτι, αλλά η μέτρησή μας προκαλεί από μόνη της μια αλλαγή, και το καλύτερο που μπορούμε να ελπίζουμε να κάνουμε είναι να μειώσουμε στο ελάχιστο την ενέργεια που συνεισφέρουμε στο ηλεκτρόνιο με τη μέτρησή του. Αυτή η ελάχιστη ποσότητα ενέργειας έχει ως έναν από τους παράγοντες της τη σταθερά του Planck.

Η αβεβαιότητα υπερβαίνει τα μαθηματικά του πίνακα

Η αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ βρέθηκε στις πρώτες εξισώσεις της "νέας" κβαντικής φυσικής και η θεωρία δόθηκε με τη χρήση μαθηματικών πινάκων. Ωστόσο, η αρχή της αβεβαιότητας είναι ένα γεγονός για τη φύση και εμφανίζεται σε άλλους τρόπους να μιλάμε για την κβαντική φυσική, όπως οι εξισώσεις που έκανε ο Erwin Schrödinger.

Η απροσδιοριστία στη φύση, όχι η αβεβαιότητα των ανθρώπων

Υπήρξαν δύο πολύ διαφορετικοί τρόποι να εξεταστεί αυτό που ανακάλυψε ο Χάιζενμπεργκ: Δηλαδή, τα πράγματα συμβαίνουν σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα και αν μπορούσαμε να γνωρίζουμε όλα όσα πρέπει να γνωρίζουμε, θα μπορούσαμε πάντα να πούμε τι θα συμβεί στη συνέχεια. Άλλοι άνθρωποι πιστεύουν ότι τα πράγματα που συμβαίνουν στη φύση καθοδηγούνται μόνο από την πιθανότητα, και μπορούμε να γνωρίζουμε μόνο πώς θα συμπεριφερθούν τα πράγματα κατά μέσο όρο - αλλά αυτό το γνωρίζουμε με μεγάλη ακρίβεια.

Ο φυσικός Τζον Στιούαρτ Μπελ ανακάλυψε έναν τρόπο να αποδείξει ότι ο πρώτος τρόπος δεν μπορεί να είναι σωστός. Το έργο του ονομάζεται θεώρημα του Μπελ ή ανισότητα του Μπελ.

Λαϊκός πολιτισμός

Η έκφραση "κβαντικό άλμα" ή "κβαντικό άλμα" έχει θεωρηθεί ότι σημαίνει κάποια μεγάλη και μετασχηματιστική αλλαγή, και χρησιμοποιείται συχνά σε υπερβολικές εκφράσεις από πολιτικούς και εκστρατείες πωλήσεων στα μέσα μαζικής ενημέρωσης. Στην κβαντομηχανική χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη μετάβαση ενός ηλεκτρονίου από μια τροχιά γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου σε οποιαδήποτε άλλη τροχιά, υψηλότερη ή χαμηλότερη.

Μερικές φορές η λέξη "κβαντική" χρησιμοποιείται στα ονόματα εμπορικών προϊόντων και επιχειρήσεων. Για παράδειγμα, η Briggs and Stratton κατασκευάζει πολλά είδη μικρών βενζινοκινητήρων για χλοοκοπτικές μηχανές, περιστροφικές φρέζες και άλλα τέτοια μικρά μηχανήματα. Ένα από τα ονόματα των μοντέλων τους είναι το "Quantum".

Επειδή η αρχή της αβεβαιότητας μας λέει ότι ορισμένες μετρήσεις σε ατομικό επίπεδο δεν μπορούν να γίνουν χωρίς να διαταράξουν άλλες μετρήσεις, ορισμένα άτομα χρησιμοποιούν αυτή την ιδέα για να περιγράψουν περιπτώσεις στον ανθρώπινο κόσμο όπου η δραστηριότητα ενός παρατηρητή αλλάζει το αντικείμενο που παρακολουθείται. Ένας ανθρωπολόγος μπορεί να πάει σε κάποιο μακρινό μέρος για να μάθει πώς ζουν οι άνθρωποι εκεί, αλλά το γεγονός ότι ένα παράξενο άτομο από τον έξω κόσμο βρίσκεται εκεί και τους παρακολουθεί μπορεί να αλλάξει τους τρόπους με τους οποίους οι άνθρωποι αυτοί ενεργούν.

Τα πράγματα που κάνουν οι άνθρωποι ενώ παρατηρούν πράγματα που αλλάζουν αυτό που παρατηρείται είναι περιπτώσεις του φαινομένου του παρατηρητή. Ορισμένα πράγματα που κάνουν οι άνθρωποι προκαλούν αλλαγές στο πολύ μικρό επίπεδο των ατόμων και αποτελούν περιπτώσεις αβεβαιότητας ή απροσδιοριστίας, όπως περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Χάιζενμπεργκ. Η αρχή της αβεβαιότητας δείχνει ότι υπάρχει πάντα ένα όριο στο πόσο μικρά μπορούμε να κάνουμε ορισμένα ζεύγη μετρήσεων, όπως η θέση και η ταχύτητα ή η τροχιά και η ορμή. Το φαινόμενο του παρατηρητή λέει ότι μερικές φορές αυτό που κάνουν οι άνθρωποι παρατηρώντας πράγματα, π.χ. μαθαίνοντας για μια αποικία μυρμηγκιών σκάβοντάς την με εργαλεία κήπου, μπορεί να έχει μεγάλα αποτελέσματα που αλλάζουν αυτό για το οποίο προσπαθούσαν να μάθουν.