Εδώ θα παρουσιάσουμε την πρώτη εξίσωση που έδωσε τη βασική ιδέα που παρουσιάστηκε αργότερα στην αρχή της αβεβαιότητας του Χάιζενμπεργκ.
Η πρωτοποριακή εργασία του Χάιζενμπεργκ του 1925 δεν χρησιμοποιεί και δεν αναφέρει καν πίνακες. Η μεγάλη επιτυχία του Χάιζενμπεργκ ήταν το "σχήμα που ήταν κατ' αρχήν ικανό να προσδιορίσει μοναδικά τις σχετικές φυσικές ιδιότητες (συχνότητες μετάβασης και πλάτη)" της ακτινοβολίας υδρογόνου.
Αφού ο Χάιζενμπεργκ έγραψε το πρωτοποριακό του έγγραφο, το έδωσε σε έναν από τους καθηγητές του για να το διορθώσει και πήγε διακοπές. Ο Μαξ Μπορν προβληματίστηκε από τις εξισώσεις και τις εξισώσεις που δεν είχαν σχέση με την επικοινωνία και που ακόμη και ο Χάιζενμπεργκ θεωρούσε ότι αποτελούσαν πρόβλημα. Μετά από αρκετές ημέρες ο Born συνειδητοποίησε ότι οι εξισώσεις αυτές ήταν οδηγίες για τη σύνταξη πινάκων. Οι πίνακες ήταν νέοι και παράξενοι, ακόμη και για τους μαθηματικούς της εποχής εκείνης, αλλά το πώς να κάνεις μαθηματικά με αυτούς ήταν ήδη σαφώς γνωστό. Αυτός και μερικοί άλλοι επεξεργάστηκαν τα πάντα σε μορφή πινάκων πριν επιστρέψει ο Χάιζενμπεργκ από το ρεπό του, και μέσα σε λίγους μήνες η νέα κβαντομηχανική σε μορφή πινάκων τους έδωσε τη βάση για μια άλλη εργασία.
Ο Max Born είδε ότι όταν υπολογίζονταν οι πίνακες που αντιπροσωπεύουν τα pq και qp δεν ήταν ίσοι. Ο Χάιζενμπεργκ είχε ήδη δει το ίδιο πράγμα όσον αφορά τον αρχικό του τρόπο γραφής των πραγμάτων, και ο Χάιζενμπεργκ μπορεί να είχε μαντέψει αυτό που ήταν σχεδόν αμέσως προφανές για τον Μπορν - ότι η διαφορά μεταξύ των πινάκων απάντησης για pq και για qp θα περιλαμβάνει πάντα δύο παράγοντες που προέκυψαν από τα αρχικά μαθηματικά του Χάιζενμπεργκ: Η σταθερά του Planck h και το i, το οποίο είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού 1. Έτσι, η ίδια η ιδέα αυτού που ο Χάιζενμπεργκ προτίμησε να ονομάσει "αρχή της απροσδιοριστίας" (συνήθως γνωστή ως αρχή της αβεβαιότητας) κρυβόταν στις αρχικές εξισώσεις του Χάιζενμπεργκ.
Ο Χάιζενμπεργκ εξέταζε τις αλλαγές που συμβαίνουν σε ένα άτομο όταν ένα ηλεκτρόνιο αλλάζει το ενεργειακό του επίπεδο και έτσι πλησιάζει στο κέντρο του ατόμου ή απομακρύνεται από το κέντρο του, και, ιδιαίτερα, τις καταστάσεις στις οποίες ένα ηλεκτρόνιο πέφτει σε μια χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση σε δύο βήματα. Ο Max Born εξήγησε πώς πήρε την παράξενη "συνταγή" του Heisenberg για την εύρεση του γινομένου, C, κάποιας αλλαγής σε ένα άτομο από το ενεργειακό επίπεδο n στο ενεργειακό επίπεδο n-b, η οποία περιελάμβανε το άθροισμα του πολλαπλασιασμού μιας αλλαγής σε κάτι που ονομάζεται A (που θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, η συχνότητα κάποιου φωτονίου) που παράγεται από μια αλλαγή της ενέργειας ενός ηλεκτρονίου στο άτομο μεταξύ της ενεργειακής κατάστασης n και της ενεργειακής κατάστασης n-a) με μια επόμενη αλλαγή σε κάτι που ονομάζεται B (που θα μπορούσε να είναι, για παράδειγμα, το πλάτος μιας αλλαγής) που παράγεται από μια άλλη αλλαγή στην ενεργειακή κατάσταση από το n-a στο n-b):
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n,n-b)=\sum _{a}^{}\\,A(n,n-a)B(n-a,n-b)} 
και ανακάλυψε κάτι πρωτοποριακό:
Με την εξέταση ...παραδειγμάτων...[ο Χάιζενμπεργκ] βρήκε αυτόν τον κανόνα.... Αυτό έγινε το καλοκαίρι του 1925. Ο Heisenberg... πήρε άδεια απουσίας... και παρέδωσε την εργασία του σε μένα για δημοσίευση....
Ο κανόνας του πολλαπλασιασμού του Χάιζενμπεργκ δεν με άφησε σε ησυχία, και μετά από μια εβδομάδα εντατικής σκέψης και δοκιμών, θυμήθηκα ξαφνικά μια αλγεβρική θεωρία....Τέτοιες τετραγωνικές συστοιχίες είναι αρκετά οικείες στους μαθηματικούς και ονομάζονται πίνακες, σε συνδυασμό με έναν ορισμένο κανόνα πολλαπλασιασμού. Εφάρμοσα αυτόν τον κανόνα στην κβαντική συνθήκη του Χάιζενμπεργκ και διαπίστωσα ότι συμφωνούσε για τα διαγώνια στοιχεία. Ήταν εύκολο να μαντέψω ποια πρέπει να είναι τα υπόλοιπα στοιχεία, δηλαδή μηδενικά- και αμέσως βρέθηκε μπροστά μου ο παράξενος τύπος
Q P - P Q = i h 2 π {\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Το σύμβολο Q είναι ο πίνακας για τη μετατόπιση, P είναι ο πίνακας για την ορμή, i συμβολίζει την τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας και h είναι η σταθερά του Planck].
Αργότερα, ο Χάιζενμπεργκ έθεσε την ανακάλυψή του σε άλλη μαθηματική μορφή:
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}} 
(Το ειδικό σύμβολο ℏ {\displaystyle {\hbar }}
ονομάζεται "h-bar" ή "μειωμένη σταθερά του Planks", είναι ίσο με h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}
.)
Τα μαθηματικά είναι ένας τρόπος περιγραφής πραγμάτων που συμβαίνουν στον πραγματικό κόσμο. Θα μπορούσατε να φανταστείτε ότι θα ήταν εύκολο να λάβετε ταυτόχρονα τόσο την ακριβή θέση κάποιου πράγματος όσο και την ακριβή μάζα, διαδρομή και ταχύτητά του. Ωστόσο, στην πραγματικότητα πρέπει να κάνετε δύο πράγματα για να πάρετε την απάντησή σας. Αν μετράτε τη θέση και την ορμή μιας σφαίρας που έχει κολλήσει σε έναν βράχο ενός μεγάλου βουνού κάπου, είναι μια απλή υπόθεση. Το βουνό δεν φαίνεται να πηγαίνει πουθενά, ούτε και η σφαίρα. Άρα η θέση της είναι γνωστή και η ταχύτητά της είναι 0, άρα και η ορμή της είναι επίσης 0. Αν όμως η σφαίρα βρίσκεται κάπου μεταξύ ενός όπλου και ενός στόχου, θα είναι δύσκολο να λάβετε τη θέση της ανά πάσα στιγμή. Το καλύτερο που ίσως μπορούμε να κάνουμε είναι να τη φωτογραφίσουμε χρησιμοποιώντας μια φωτογραφική μηχανή με πολύ γρήγορο κλείστρο. Αλλά ένα απλό πάτημα του κλείστρου θα μας έδινε μόνο ένα πράγμα, τη θέση της σφαίρας τη στιγμή t. Για να πάρουμε την ορμή θα μπορούσαμε να βάλουμε ένα μπλοκ παραφίνης στο δρόμο της σφαίρας και να μετρήσουμε πώς κινήθηκε το μπλοκ παραφίνης όταν σταμάτησε τη σφαίρα. Ή, αν γνωρίζαμε τη μάζα της σφαίρας, θα μπορούσαμε να πάρουμε μια ακολουθία δύο φωτογραφιών, να υπολογίσουμε την ταχύτητα γνωρίζοντας τη διαφορά μεταξύ των δύο θέσεων της σφαίρας και το χρόνο μεταξύ των δύο εμφανίσεών της. Όπως και να το κάνουμε, πρέπει να μετρήσουμε τη μάζα και τη θέση και το χρόνο μεταξύ των εμφανίσεων. Καταλήγουμε να κάνουμε τουλάχιστον δύο μετρήσεις για να φτάσουμε στα x και p. Σε αυτή την περίπτωση πρέπει να επιλέξουμε ποια μέτρηση θα κάνουμε πρώτη και ποια δεύτερη. Φαίνεται ότι δεν έχει καμία διαφορά με ποια σειρά θα γίνουν οι μετρήσεις μας. Το να μετρήσουμε τη μάζα της σφαίρας και μετά να μετρήσουμε τις θέσεις της δύο φορές ή να μετρήσουμε τις θέσεις της σφαίρας δύο φορές και μετά να ανακτήσουμε τη σφαίρα και να μετρήσουμε τη μάζα της δεν θα είχε καμία διαφορά, έτσι δεν είναι; Εξάλλου, δεν έχουμε κάνει τίποτα στη σφαίρα όταν τη ζυγίζουμε ή όταν τη φωτογραφίζουμε.
Στην πολύ μικρή κλίμακα, όταν μετράμε κάτι όπως ένα ηλεκτρόνιο, ωστόσο, κάθε μέτρηση κάνει κάτι σε αυτό. Αν μετρήσουμε πρώτα τη θέση, τότε αλλάζουμε το momemtum του κατά τη διαδικασία. Αν μετρήσουμε πρώτα την ορμή του ηλεκτρονίου, τότε αλλάζουμε τη θέση του κατά τη διαδικασία. Η ελπίδα μας θα ήταν να μετρήσουμε το ένα από τα δύο και μετά το άλλο πριν αλλάξει κάτι, αλλά η μέτρησή μας προκαλεί από μόνη της μια αλλαγή, και το καλύτερο που μπορούμε να ελπίζουμε να κάνουμε είναι να μειώσουμε στο ελάχιστο την ενέργεια που συνεισφέρουμε στο ηλεκτρόνιο με τη μέτρησή του. Αυτή η ελάχιστη ποσότητα ενέργειας έχει ως έναν από τους παράγοντες της τη σταθερά του Planck.
