Εξίσωση Σρέντινγκερ

Η εξίσωση Schrödinger είναι μια διαφορική εξίσωση (ένας τύπος εξίσωσης που περιλαμβάνει μια άγνωστη συνάρτηση και όχι έναν άγνωστο αριθμό) που αποτελεί τη βάση της κβαντομηχανικής, μιας από τις πιο ακριβείς θεωρίες για τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων. Πρόκειται για μια μαθηματική εξίσωση που επινοήθηκε από τον Έρβιν Σρέντινγκερ το 1925. Ορίζει μια κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου ή ενός συστήματος (ομάδα σωματιδίων) η οποία έχει μια συγκεκριμένη τιμή σε κάθε σημείο του χώρου για κάθε δεδομένο χρόνο. Αυτές οι τιμές δεν έχουν καμία φυσική σημασία (στην πραγματικότητα, είναι μαθηματικά πολύπλοκες), ωστόσο η κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις πληροφορίες που μπορούν να γίνουν γνωστές για ένα σωματίδιο ή σύστημα. Αυτές οι πληροφορίες μπορούν να βρεθούν με μαθηματικό χειρισμό της κυματοσυνάρτησης ώστε να επιστρέψουν πραγματικές τιμές που σχετίζονται με φυσικές ιδιότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια κ.λπ. Η κυματοσυνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί ως μια εικόνα του τρόπου με τον οποίο αυτό το σωματίδιο ή το σύστημα ενεργεί με το χρόνο και το περιγράφει όσο το δυνατόν πληρέστερα.

Η κυματοσυνάρτηση μπορεί να βρίσκεται σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις ταυτόχρονα, και έτσι ένα σωματίδιο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές θέσεις, ενέργειες, ταχύτητες ή άλλες φυσικές ιδιότητες ταυτόχρονα (δηλαδή "να βρίσκεται σε δύο μέρη ταυτόχρονα"). Ωστόσο, όταν μια από αυτές τις ιδιότητες μετριέται, έχει μόνο μια συγκεκριμένη τιμή (η οποία δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα), και η κυματοσυνάρτηση βρίσκεται επομένως σε μια μόνο συγκεκριμένη κατάσταση. Αυτό ονομάζεται κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης και φαίνεται να προκαλείται από την πράξη της παρατήρησης ή της μέτρησης. Η ακριβής αιτία και η ερμηνεία της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης εξακολουθεί να συζητείται ευρέως στην επιστημονική κοινότητα.

Για ένα σωματίδιο που κινείται μόνο προς μία κατεύθυνση στο χώρο, η εξίσωση Schrödinger έχει την εξής μορφή:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

όπου i {\displaystyle i} $i$ είναι η τετραγωνική ρίζα του -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ είναι η μειωμένη σταθερά του Planck, t {\displaystyle t} $t$ είναι ο χρόνος, x {\displaystyle x} είναι μια θέση, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ είναι η κυματοσυνάρτηση, και V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ είναι η δυνητική ενέργεια, μια ακόμη μη επιλεγμένη συνάρτηση της θέσης. Η αριστερή πλευρά είναι ισοδύναμη με τον Χαμιλτονιανό ενεργειακό τελεστή που ενεργεί στο Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Προτομή του Erwin Schrödinger, στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. Δείχνει επίσης μια εξίσωση Schrödinger.

Χρονικά ανεξάρτητη έκδοση

Υποθέτοντας ότι η κυματοσυνάρτηση, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , είναι διαχωρίσιμη, δηλαδή υποθέτοντας ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο δύο διαφορετικών συναρτήσεων μιας μόνο μεταβλητής:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

τότε, χρησιμοποιώντας τις συνήθεις μαθηματικές τεχνικές των μερικών διαφορικών εξισώσεων, μπορεί να αποδειχθεί ότι η κυματική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφεί ως δύο διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)} $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

όπου η πρώτη εξίσωση εξαρτάται αποκλειστικά από το χρόνο T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , και η δεύτερη εξίσωση εξαρτάται μόνο από τη θέση ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , και όπου E {\displaystyle E} $E$ είναι απλώς ένας αριθμός. Η πρώτη εξίσωση μπορεί να επιλυθεί αμέσως για να δώσει

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

όπου e {\displaystyle e} $e$ είναι ο αριθμός του Euler. Οι λύσεις της δεύτερης εξίσωσης εξαρτώνται από τη συνάρτηση δυναμικής ενέργειας, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ και επομένως δεν μπορούν να επιλυθούν μέχρι να δοθεί η συνάρτηση αυτή. Μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την κβαντομηχανική ότι ο αριθμός E {\displaystyle E} $E$ είναι στην πραγματικότητα η ενέργεια του συστήματος, οπότε αυτές οι διαχωρίσιμες κυματοσυναρτήσεις περιγράφουν συστήματα σταθερής ενέργειας. Δεδομένου ότι η ενέργεια είναι σταθερή σε πολλά σημαντικά φυσικά συστήματα (για παράδειγμα: ένα ηλεκτρόνιο σε ένα άτομο), χρησιμοποιείται συχνά η δεύτερη εξίσωση του συνόλου των διαχωρισμένων διαφορικών εξισώσεων που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως η ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση Schrödinger, καθώς δεν περιλαμβάνει το t {\displaystyle t} $t$ .

Ερμηνείες της κυματοσυνάρτησης

Ερμηνεία Born

Υπάρχουν πολλές φιλοσοφικές ερμηνείες της κυματοσυνάρτησης και μερικές από τις κυριότερες ιδέες θα εξεταστούν εδώ. Η κύρια ιδέα, που ονομάζεται ερμηνεία πιθανότητας Born (από το όνομα του φυσικού Max Born) προέρχεται από την απλή ιδέα ότι η κυματοσυνάρτηση είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη, δηλ.

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Αυτός ο μάλλον απλός τύπος έχει μεγάλες φυσικές επιπτώσεις. Ο Born υπέθεσε ότι το παραπάνω ολοκλήρωμα καθορίζει ότι το σωματίδιο υπάρχει κάπου στο χώρο. Αλλά πώς μπορούμε να το βρούμε; Χρησιμοποιούμε το ολοκλήρωμα

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

όπου P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} είναι η πιθανότητα $P(b<x<a)$ να βρεθεί το σωματίδιο στην περιοχή από b {\displaystyle b} έως a {\displaystyle $b$ a} . Με άλλα λόγια, το μόνο που μπορεί να γίνει εκ των προτέρων γνωστό για ένα σωματίδιο γενικά είναι οι πιθανότητες, οι μέσοι όροι και άλλα στατιστικά μεγέθη που σχετίζονται με τα φυσικά του μεγέθη (θέση, ορμή κ.λπ.). Βασικά, αυτή είναι η ερμηνεία Born.

Ερμηνεία της Κοπεγχάγης

Μπορεί να γίνει μια επέκταση των παραπάνω ιδεών. Εφόσον η ερμηνεία Born λέει ότι η πραγματική θέση του σωματιδίου δεν μπορεί να είναι γνωστή, μπορούμε να εξάγουμε τα ακόλουθα. Αν Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ είναι λύσεις της κυματικής εξίσωσης, τότε η υπέρθεση αυτών των λύσεων, δηλ.

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

είναι επίσης μια λύση. Αυτό σημαίνει, λοιπόν, ότι το σωματίδιο υπάρχει σε κάθε δυνατή θέση. Όταν έρχεται ένας παρατηρητής και μετράει τη θέση του σωματιδίου, τότε η υπέρθεση ανάγεται σε μία μόνο πιθανή κυματοσυνάρτηση. (δηλαδή, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , όπου Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ είναι οποιαδήποτε από τις δυνατές καταστάσεις κυματοσυνάρτησης). Αυτή η ιδέα ότι η θέση ενός σωματιδίου δεν μπορεί να είναι επακριβώς γνωστή και ότι ένα σωματίδιο υπάρχει σε πολλαπλές θέσεις ταυτόχρονα, οδηγεί στην αρχή της αβεβαιότητας. Η μαθηματική διατύπωση αυτής της αρχής μπορεί να δοθεί ως εξής

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Όπου Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ είναι η αβεβαιότητα στη θέση και Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ είναι η αβεβαιότητα στην ορμή. Η αρχή αυτή μπορεί να προκύψει μαθηματικά από τους μετασχηματισμούς Fourier μεταξύ ορμής και θέσης, όπως ορίζονται από την κβαντομηχανική, αλλά δεν θα την εξάγουμε σε αυτό το άρθρο.

Άλλες ερμηνείες

Υπάρχουν διάφορες άλλες ερμηνείες, όπως η ερμηνεία των πολλών κόσμων και ο κβαντικός ντετερμινισμός.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι η εξίσωση Σρέντινγκερ;

A: Η εξίσωση Schrödinger είναι μια διαφορική εξίσωση που αποτελεί τη βάση της κβαντομηχανικής και επινοήθηκε από τον Erwin Schrödinger το 1925. Ορίζει μια κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου ή συστήματος η οποία έχει μια συγκεκριμένη τιμή σε κάθε σημείο του χώρου για κάθε δεδομένο χρόνο.

Ερ: Ποιες πληροφορίες μπορούν να βρεθούν από τον χειρισμό της κυματοσυνάρτησης;

Α: Με τον μαθηματικό χειρισμό της κυματοσυνάρτησης μπορούν να βρεθούν πραγματικές τιμές που σχετίζονται με φυσικές ιδιότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια κ.λπ.

Ερ: Τι σημαίνει όταν ένα σωματίδιο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές θέσεις, ενέργειες, ταχύτητες ή άλλες φυσικές ιδιότητες ταυτόχρονα;

Α: Αυτό σημαίνει ότι η κυματοσυνάρτηση μπορεί να βρίσκεται σε πολλές διαφορετικές καταστάσεις ταυτόχρονα και έτσι ένα σωματίδιο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές θέσεις, ενέργειες, ταχύτητες ή άλλες φυσικές ιδιότητες ταυτόχρονα (δηλαδή "να βρίσκεται σε δύο μέρη ταυτόχρονα").

Ερ: Τι είναι η κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης;

Α: Κατάρρευση κυματοσυνάρτησης είναι όταν μια από αυτές τις ιδιότητες μετριέται έχει μόνο μια συγκεκριμένη τιμή (η οποία δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα) και η κυματοσυνάρτηση βρίσκεται επομένως σε μια μόνο συγκεκριμένη κατάσταση. Αυτό φαίνεται να προκαλείται από την πράξη της παρατήρησης ή της μέτρησης.

Ερώτηση: Ποια είναι ορισμένα στοιχεία της εξίσωσης Schrödinger;

Α: Τα συστατικά της εξίσωσης Schrödinger περιλαμβάνουν το i που ισούται με την τετραγωνική ρίζα -1, το ℏ που αντιπροσωπεύει τη μειωμένη σταθερά του Planck, το t που αντιπροσωπεύει το χρόνο, το x που αντιπροσωπεύει τη θέση, το Ψ (x , t) που αντιπροσωπεύει τις κυματοσυναρτήσεις και το V(x) που αντιπροσωπεύει τη δυνητική ενέργεια ως μια ακόμη μη επιλεγμένη συνάρτηση της θέσης.

Ερ: Πώς ερμηνεύουμε την κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης;

Α: Η ακριβής αιτία και η ερμηνεία της κατάρρευσης της κυματοσυνάρτησης εξακολουθεί να συζητείται ευρέως στην επιστημονική κοινότητα.