Μαγνητική ροπή

Η μαγνητική ροπή ενός μαγνήτη είναι ένα μέγεθος που καθορίζει τη δύναμη που μπορεί να ασκήσει ο μαγνήτης σε ηλεκτρικά ρεύματα και τη ροπή που θα ασκήσει πάνω του ένα μαγνητικό πεδίο. Ένας βρόχος ηλεκτρικού ρεύματος, ένας ραβδόμορφος μαγνήτης, ένα ηλεκτρόνιο, ένα μόριο και ένας πλανήτης έχουν μαγνητική ροπή.

Τόσο η μαγνητική ροπή όσο και το μαγνητικό πεδίο μπορούν να θεωρηθούν διανύσματα με μέγεθος και κατεύθυνση. Η κατεύθυνση της μαγνητικής ροπής δείχνει από το νότιο προς το βόρειο πόλο ενός μαγνήτη. Το μαγνητικό πεδίο που παράγεται από έναν μαγνήτη είναι επίσης ανάλογο της μαγνητικής του ροπής. Πιο συγκεκριμένα, ο όρος μαγνητική ροπή αναφέρεται συνήθως στη μαγνητική διπολική ροπή ενός συστήματος, η οποία παράγει τον πρώτο όρο στο πολυπολικό ανάπτυγμα ενός γενικού μαγνητικού πεδίου. Η διπολική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου ενός αντικειμένου είναι συμμετρική ως προς τη διεύθυνση της μαγνητικής διπολικής ροπής του και μειώνεται ως ο αντίστροφος κύβος της απόστασης από το αντικείμενο.

Δύο ορισμοί της ροπής

Στα εγχειρίδια χρησιμοποιούνται δύο συμπληρωματικές προσεγγίσεις για τον ορισμό των μαγνητικών ροπών. Στα εγχειρίδια πριν από το 1930, ορίζονταν χρησιμοποιώντας τους μαγνητικούς πόλους. Τα πιο πρόσφατα εγχειρίδια τις ορίζουν με βάση τα ρεύματα Ampèrian.

Ορισμός μαγνητικού πόλου

Οι φυσικοί αναπαριστούν τις πηγές των μαγνητικών ροπών στα υλικά ως πόλους. Οι βόρειοι και οι νότιοι πόλοι είναι μια αναλογία με τα θετικά και τα αρνητικά φορτία στην ηλεκτροστατική. Σκεφτείτε έναν ραβδόμορφο μαγνήτη που έχει μαγνητικούς πόλους ίσου μεγέθους αλλά αντίθετης πολικότητας. Κάθε πόλος αποτελεί πηγή μαγνητικής δύναμης η οποία εξασθενεί με την απόσταση. Δεδομένου ότι οι μαγνητικοί πόλοι έρχονται πάντα σε ζεύγη, οι δυνάμεις τους αλληλοεξουδετερώνονται εν μέρει, διότι ενώ ο ένας πόλος έλκει, ο άλλος απωθεί. Αυτή η ακύρωση είναι μεγαλύτερη όταν οι πόλοι βρίσκονται κοντά ο ένας στον άλλο, δηλαδή όταν ο ραβδόμορφος μαγνήτης είναι μικρός. Η μαγνητική δύναμη που παράγεται από έναν ραβδόμορφο μαγνήτη, σε ένα δεδομένο σημείο στο χώρο, εξαρτάται επομένως από δύο παράγοντες: τόσο από την ισχύ p {\displaystyle p} $p$ των πόλων του, όσο και από το διάνυσμα l {\displaystyle \mathbf {l} } που τους χωρίζει $\mathbf {l}$ . Η ροπή ορίζεται ως

m = p l . {\displaystyle \mathbf {m} =p\mathbf {l} . } $\mathbf {m} =p\mathbf {l} .$

Δείχνει προς την κατεύθυνση από το νότιο προς το βόρειο πόλο. Η αναλογία με τα ηλεκτρικά δίπολα δεν πρέπει να παρατραβηχτεί, διότι τα μαγνητικά δίπολα συνδέονται με τη στροφορμή (βλέπε Μαγνητική ροπή και στροφορμή). Παρ' όλα αυτά, τα μαγνητικά δίπολα είναι πολύ χρήσιμα για μαγνητοστατικούς υπολογισμούς, ιδίως σε εφαρμογές σε σιδηρομαγνήτες. Οι πρακτικοί που χρησιμοποιούν την προσέγγιση των μαγνητικών πόλων αναπαριστούν γενικά το μαγνητικό πεδίο με το πεδίο μη περιστροφής H {\displaystyle \mathbf {H} } $\mathbf {H}$ , κατ' αναλογία με το ηλεκτρικό πεδίο E {\displaystyle \mathbf {E} } $\mathbf {E}$ .

Ορισμός βρόχου ρεύματος

Ας υποθέσουμε ότι ένας επίπεδος κλειστός βρόχος μεταφέρει ηλεκτρικό ρεύμα I {\displaystyle I} και έχει διανυσματική επιφάνεια S {\displaystyle \mathbf {S} } $\mathbf {S}$ ( x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , και z {\displaystyle z} $z$ οι συντεταγμένες αυτού του διανύσματος είναι τα εμβαδά των προβολών του βρόχου στο y z {\displaystyle yz} $yz$ , z x {\displaystyle zx} $zx$ , και x y {\displaystyle xy} $xy$ επίπεδα). Η μαγνητική του ροπή m {\displaystyle \mathbf {m} } $\mathbf {m}$ , διάνυσμα, ορίζεται ως εξής:

m = I S . {\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {S} . } $\mathbf {m} =I\mathbf {S} .$

Κατά σύμβαση, η κατεύθυνση της διανυσματικής περιοχής δίνεται από τον κανόνα της λαβής του δεξιού χεριού (καμπύλωση των δακτύλων του δεξιού χεριού προς την κατεύθυνση του ρεύματος γύρω από το βρόχο, όταν η παλάμη του χεριού "αγγίζει" το εξωτερικό άκρο του βρόχου, και ο ευθεία αντίχειρας υποδεικνύει την κατεύθυνση της διανυσματικής περιοχής και, συνεπώς, της μαγνητικής ροπής).

Εάν ο βρόχος δεν είναι επίπεδος, η ροπή δίνεται ως εξής

m = I ∫2 r × d r . {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {I}{2}}\int \mathbf {r} \times {\rm {d}}\mathbf {r} . } $\mathbf {m} ={\frac {I}{2}}\int \mathbf {r} \times {\rm {d}}\mathbf {r} .$

Στην πιο γενική περίπτωση μιας αυθαίρετης κατανομής ρεύματος στο χώρο, η μαγνητική ροπή μιας τέτοιας κατανομής μπορεί να βρεθεί από την ακόλουθη εξίσωση:

m = ∫12 r × J d V , {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int \mathbf {r} \times \mathbf {J} \,{\rm {d}}V,} $\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int \mathbf {r} \times \mathbf {J} \,{\rm {d}}V,$

όπου r {\displaystyle \mathbf {r} } $\mathbf {r}$ είναι το διάνυσμα θέσης που δείχνει από την αρχή προς τη θέση του στοιχείου όγκου, και J {\displaystyle \mathbf {J} } $\mathbf {J}$ είναι το διάνυσμα της πυκνότητας ρεύματος στη θέση αυτή.

Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της μαγνητικής ροπής οποιουδήποτε συγκροτήματος κινούμενων φορτίων, όπως ένα περιστρεφόμενο φορτισμένο στερεό, αντικαθιστώντας

J = ρ v , {\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,} $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v} ,$

όπου ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ είναι η πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου σε ένα δεδομένο σημείο και v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ είναι η στιγμιαία γραμμική ταχύτητα του σημείου αυτού.

Για παράδειγμα, η μαγνητική ροπή που παράγεται από ένα ηλεκτρικό φορτίο που κινείται κατά μήκος μιας κυκλικής διαδρομής είναι

m = q 12r × v {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}}\,q\,\mathbf {r} \times \mathbf {v} } $\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\,q\,\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ ,

όπου r {\displaystyle \mathbf {r} } $\mathbf {r}$ είναι η θέση του φορτίου q {\displaystyle q} σε σχέση με το κέντρο του κύκλου και v {\displaystyle \mathbf {v} } $\mathbf {v}$ είναι η στιγμιαία ταχύτητα του φορτίου.

Οι επαγγελματίες που χρησιμοποιούν το μοντέλο του βρόχου ρεύματος γενικά αναπαριστούν το μαγνητικό πεδίο με το σωληνοειδές πεδίο B {\displaystyle \mathbf {B} } $\mathbf {B}$ , ανάλογο με το ηλεκτροστατικό πεδίο D {\displaystyle \mathbf {D} } $\mathbf {D}$ .

Μαγνητική ροπή ενός σωληνοειδούς

Μια γενίκευση του παραπάνω βρόχου ρεύματος είναι ένα πηνίο πολλαπλών στροφών ή σωληνοειδές. Η ροπή του είναι το διανυσματικό άθροισμα των ροπών των επιμέρους στροφών. Εάν το σωληνοειδές έχει Ν {\displaystyle N} $N$ πανομοιότυπα σπειρώματα (τύλιγμα ενός στρώματος),

m = N I S . {\displaystyle \mathbf {m} =NI\mathbf {S} . } $\mathbf {m} =NI\mathbf {S} .$

Τρισδιάστατη εικόνα ενός σωληνοειδούς.

Ροπή m {\displaystyle \mathbf {m} } $\mathbf {m}$ ενός επίπεδου βρόχου ρεύματος με εμβαδόν S {\displaystyle S} $S$ και ρεύμα I {\displaystyle I} .

Ένα ηλεκτροστατικό ανάλογο της μαγνητικής ροπής: δύο αντίθετα φορτία που χωρίζονται από μια πεπερασμένη απόσταση.

Μονάδες

Η μονάδα της μαγνητικής ροπής δεν αποτελεί βασική μονάδα στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) και μπορεί να αναπαρασταθεί με περισσότερους από έναν τρόπους. Για παράδειγμα, στον ορισμό του βρόχου ρεύματος, η επιφάνεια μετριέται σε τετραγωνικά μέτρα και το I {\displaystyle I} μετριέται σε αμπέρ, οπότε η μαγνητική ροπή μετριέται σε αμπέρ-τετραγωνικά μέτρα ( A m {\displaystyle2 {\text{A m}}^{2}}} ${\text{A m}}^{2}$ ). Στην εξίσωση για τη ροπή σε μια ροπή, η ροπή μετριέται σε Newton.meters και το μαγνητικό πεδίο σε tesla, οπότε η ροπή μετριέται σε N.m ανά Tesla ( N.m T - 1{\displaystyle {\text{N.m T}}^{-1}}} ${\text{N.m T}}^{-1}$ ). Αυτές οι δύο αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες:

A m =2 N.m T -1 . {\displaystyle \,{\text{A m}}^{2}=\,{\text{N.m T}}^{-1}. } $\,{\text{A m}}^{2}=\,{\text{N.m T}}^{-1}.$

Στο σύστημα CGS, υπάρχουν πολλά διαφορετικά σύνολα μονάδων ηλεκτρομαγνητισμού, από τα οποία τα κυριότερα είναι τα ESU, Gaussian και EMU. Μεταξύ αυτών, υπάρχουν δύο εναλλακτικές (μη ισοδύναμες) μονάδες της μαγνητικής διπολικής ροπής στο CGS:

(ESU CGS) 1 statA-cm² = 3,33564095×10^-14 (m-A² ή N.m/T)

και (πιο συχνά χρησιμοποιούμενο)

(EMU CGS και Gaussian-CGS) 1 erg/G = 1 abA-cm² = 10^-3 (m-A² ή N.m/T).

Ο λόγος αυτών των δύο μη ισοδύναμων μονάδων CGS (EMU/ESU) ισούται ακριβώς με την ταχύτητα του φωτός στον ελεύθερο χώρο, εκφρασμένη σε cm/s.

Όλοι οι τύποι σε αυτό το άρθρο είναι σωστοί σε μονάδες SI, αλλά σε άλλα συστήματα μονάδων, οι τύποι μπορεί να χρειαστεί να αλλάξουν. Για παράδειγμα, στις μονάδες SI, ένας βρόχος ρεύματος με ρεύμα I και εμβαδόν A έχει μαγνητική ροπή I×A (βλέπε παρακάτω), αλλά στις μονάδες Gauss η μαγνητική ροπή είναι I×A/c.

Εγγενείς μαγνητικές ροπές και σπιν ορισμένων στοιχειωδών σωματιδίων
Σωματίδιο	Μαγνητική διπολική ροπή σε μονάδες SI (10 ⁻²⁷J/T)	Κβαντικός αριθμός Spin (χωρίς διαστάσεις)
ηλεκτρόνιο	-9284.764	1/2
πρωτόνιο	14.106067	1/2
νετρόνια	-9.66236	1/2
μιονίων	-44.904478	1/2
δευτερόνιο	4.3307346	1
triton	15.046094	1/2

Για τη σχέση μεταξύ των εννοιών της μαγνητικής ροπής και της μαγνήτισης βλέπε μαγνήτιση.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Ποια είναι η μαγνητική ροπή ενός μαγνήτη;

A: Η μαγνητική ροπή ενός μαγνήτη είναι ένα μέγεθος που καθορίζει τη δύναμη που μπορεί να ασκήσει ο μαγνήτης σε ηλεκτρικά ρεύματα και τη ροπή που θα ασκήσει πάνω του ένα μαγνητικό πεδίο.

Ερ: Ποια αντικείμενα έχουν μαγνητική ροπή;

Α: Ένας βρόχος ηλεκτρικού ρεύματος, ένας ραβδόμορφος μαγνήτης, ένα ηλεκτρόνιο, ένα μόριο και ένας πλανήτης έχουν μαγνητικές ροπές.

Ερ: Πώς μπορούν να ληφθούν υπόψη τόσο η μαγνητική ροπή όσο και το μαγνητικό πεδίο;

Α: Τόσο η μαγνητική ροπή όσο και το μαγνητικό πεδίο μπορούν να θεωρηθούν ως διανύσματα που έχουν μέγεθος και κατεύθυνση.

Ερ: Προς ποια κατεύθυνση δείχνει η μαγνητική ροπή σε έναν μαγνήτη;

Α: Η κατεύθυνση της μαγνητικής ροπής δείχνει από το νότιο προς το βόρειο πόλο ενός μαγνήτη.

Ερ: Ποια είναι η σχέση μεταξύ της μαγνητικής ροπής και του μαγνητικού πεδίου ενός μαγνήτη;

Α: Το μαγνητικό πεδίο που παράγει ένας μαγνήτης είναι ανάλογο της μαγνητικής του ροπής.

Ερ: Σε τι αναφέρεται συνήθως ο όρος μαγνητική ροπή;

Α: Πιο συγκεκριμένα, ο όρος μαγνητική ροπή αναφέρεται συνήθως στη μαγνητική διπολική ροπή ενός συστήματος, η οποία παράγει τον πρώτο όρο στο πολυπολικό ανάπτυγμα ενός γενικού μαγνητικού πεδίου.

Ερ: Πώς συμπεριφέρεται η διπολική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου ενός αντικειμένου καθώς αυξάνεται η απόσταση από το αντικείμενο;

Α: Η διπολική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου ενός αντικειμένου είναι συμμετρική ως προς τη διεύθυνση της μαγνητικής διπολικής ροπής του και μειώνεται ως ο αντίστροφος κύβος της απόστασης από το αντικείμενο.