Πολική ροπή αδράνειας

Σημείωση: Διαφορετικοί κλάδοι χρησιμοποιούν τον όρο ροπή αδράνειας για να αναφερθούν σε διαφορετικές ροπές. Στη φυσική, η ροπή αδράνειας είναι αυστηρά η δεύτερη ροπή της μάζας ως προς την απόσταση από έναν άξονα, η οποία χαρακτηρίζει τη γωνιακή επιτάχυνση ενός αντικειμένου λόγω μιας εφαρμοζόμενης ροπής. Στη μηχανολογία (ιδίως στη μηχανολογία και την πολιτική μηχανική), η ροπή αδράνειας αναφέρεται συνήθως στη δεύτερη ροπή του εμβαδού. Όταν διαβάζετε την πολική ροπή αδράνειας προσέξτε να ελέγξετε ότι αναφέρεται στην "πολική δεύτερη ροπή της επιφάνειας" και όχι στη ροπή αδράνειας. Η πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού θα έχει μονάδες μήκους στην τέταρτη δύναμη (π.χ. m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ή i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), ενώ η ροπή αδράνειας είναι μάζα επί μήκος στο τετράγωνο (π.χ. k g ∗ m 2 {\displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ ή l b ∗ i n 2 {\displaystyle lb*in^{2}} $lb*in^{2}$ ).

Η πολική δεύτερη ροπή επιφάνειας (αναφέρεται επίσης ως "πολική ροπή αδράνειας") είναι ένα μέτρο της ικανότητας ενός αντικειμένου να αντιστέκεται στη στρέψη σε συνάρτηση με το σχήμα του. Είναι μια πτυχή της δεύτερης ροπής επιφάνειας που συνδέεται μέσω του θεωρήματος του κάθετου άξονα, όπου η επίπεδη δεύτερη ροπή επιφάνειας χρησιμοποιεί το σχήμα της διατομής μιας δοκού για να περιγράψει την αντίστασή της σε παραμόρφωση (κάμψη) όταν υποβάλλεται σε δύναμη που ασκείται σε επίπεδο παράλληλο προς τον ουδέτερο άξονά της, η πολική δεύτερη ροπή επιφάνειας χρησιμοποιεί το σχήμα της διατομής μιας δοκού για να περιγράψει την αντίστασή της σε παραμόρφωση (στρέψη) όταν ασκείται ροπή (ροπή) σε επίπεδο κάθετο προς τον ουδέτερο άξονα της δοκού. Ενώ η επίπεδη δεύτερη ροπή εμβαδού συμβολίζεται συχνότερα με το γράμμα I {\displaystyle I} , η πολική δεύτερη ροπή εμβαδού συμβολίζεται συχνότερα είτε με I z {\displaystyle I_{z}} $I_{z}$ , είτε με το γράμμα, J {\displaystyle J} $J$ , στα εγχειρίδια μηχανικής.

Οι υπολογιζόμενες τιμές για την πολική δεύτερη ροπή της περιοχής χρησιμοποιούνται συχνότερα για να περιγράψουν την αντίσταση ενός συμπαγούς ή κοίλου κυλινδρικού άξονα σε στρέψη, όπως στον άξονα ή στον κινητήριο άξονα ενός οχήματος. Όταν εφαρμόζονται σε μη κυλινδρικές δοκούς ή άξονες, οι υπολογισμοί για την πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού γίνονται λανθασμένοι λόγω της στρέβλωσης του άξονα/της δοκού. Σε αυτές τις περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιείται μια σταθερά στρέψης, όπου μια διορθωτική σταθερά προστίθεται στον υπολογισμό της τιμής.

Η πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού μεταφέρει τις μονάδες του μήκους στην τέταρτη δύναμη ( L 4 {\displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ), τα μέτρα στην τέταρτη δύναμη ( m 4 {\displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) στο μετρικό σύστημα μονάδων και τις ίντσες στην τέταρτη δύναμη ( i n 4 {\displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ) στο βρετανικό σύστημα μονάδων. Ο μαθηματικός τύπος για τον άμεσο υπολογισμό δίνεται ως πολλαπλό ολοκλήρωμα επί του εμβαδού ενός σχήματος, R {\displaystyle R} $R$ , σε απόσταση ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ από έναν αυθαίρετο άξονα O {\displaystyle O} $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Στην πιο απλή μορφή, η πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού είναι το άθροισμα των δύο επίπεδων δεύτερων ροπών του εμβαδού, I x {\displaystyle I_{x}} $I_{x}$ και I y {\displaystyle I_{y}} $I_{y}$ . Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόσταση από τον άξονα O {\displaystyle O} $O$ , ρ {\displaystyle \rho } $\rho$ , μπορεί να αναλυθεί στις συνιστώσες x {\displaystyle x} $x$ και y {\displaystyle y} $y$ και η μεταβολή του εμβαδού, d A {\displaystyle dA} $dA$ , αναλύεται στις x {\displaystyle x} $x$ και y {\displaystyle y} $y$ συνιστώσες της, d x {\displaystyle dx} $dx$ και d y {\displaystyle dy} $dy$ .

Δίνονται οι δύο τύποι για τις επίπεδες δεύτερες ροπές του εμβαδού:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ , και I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

Η σχέση με την πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού μπορεί να δειχθεί ως εξής:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \therefore J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Ουσιαστικά, όσο αυξάνεται το μέγεθος της πολικής δεύτερης ροπής της επιφάνειας (δηλαδή μεγάλο σχήμα διατομής του αντικειμένου), θα απαιτείται μεγαλύτερη ροπή για να προκληθεί στρεπτική παραμόρφωση του αντικειμένου. Ωστόσο, πρέπει να σημειωθεί ότι αυτό δεν έχει καμία σχέση με τη στρεπτική ακαμψία που παρέχεται σε ένα αντικείμενο από τα υλικά που το αποτελούν- η πολική δεύτερη ροπή εμβαδού είναι απλώς η ακαμψία που παρέχεται σε ένα αντικείμενο μόνο από το σχήμα του. Η στρεπτική ακαμψία που παρέχεται από τα χαρακτηριστικά των υλικών είναι γνωστή ως μέτρο διάτμησης, G {\displaystyle G} $G$ . Συνδέοντας αυτές τις δύο συνιστώσες της ακαμψίας, μπορεί κανείς να υπολογίσει τη γωνία στρέψης μιας δοκού, θ {\displaystyle \theta } $\theta$ , χρησιμοποιώντας:

θ = T l J G {\displaystyle \theta ={\frac {Tl}{JG}}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Όπου T {\displaystyle T} $T$ είναι η εφαρμοζόμενη ροπή (ροπή) και l {\displaystyle l} $l$ είναι το μήκος της δοκού. Όπως φαίνεται, υψηλότερες ροπές και μήκη δοκού οδηγούν σε υψηλότερες γωνιακές παραμορφώσεις, όπου υψηλότερες τιμές για την πολική δεύτερη ροπή επιφάνειας, J {\displaystyle J} $J$ και το μέτρο διάτμησης του υλικού, G {\displaystyle G} $G$ , μειώνουν τη δυνατότητα γωνιακών παραμορφώσεων.

Σχηματική απεικόνιση του τρόπου υπολογισμού της πολικής δεύτερης ροπής του εμβαδού ("Πολική ροπή αδράνειας") για ένα αυθαίρετο σχήμα εμβαδού, R, γύρω από έναν άξονα o, όπου ρ είναι η ακτινική απόσταση από το στοιχείο dA.

Σχετικές σελίδες

Στιγμή (φυσική)
Δεύτερη ροπή της περιοχής
Κατάλογος δεύτερων ροπών του εμβαδού για τυποποιημένα σχήματα
Μέτρο διάτμησης

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Q: Τι είναι η ροπή αδράνειας στη φυσική;

A: Στη φυσική, η ροπή αδράνειας είναι αυστηρά η δεύτερη ροπή της μάζας σε σχέση με την απόσταση από έναν άξονα, η οποία χαρακτηρίζει τη γωνιακή επιτάχυνση ενός αντικειμένου λόγω μιας εφαρμοζόμενης ροπής.

Ερ: Σε τι αναφέρεται η πολική δεύτερη ροπή της επιφάνειας στη μηχανική;

Α: Στη μηχανική (ιδίως στη μηχανολογία και την πολιτική), η ροπή αδράνειας αναφέρεται συνήθως στη δεύτερη ροπή του εμβαδού. Όταν διαβάζετε την πολική ροπή αδράνειας προσέξτε να βεβαιωθείτε ότι αναφέρεται στην "πολική δεύτερη ροπή της επιφάνειας" και όχι στη ροπή αδράνειας. Η πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού θα έχει μονάδες μήκους προς την τέταρτη δύναμη (π.χ. m^4 ή in^4).

Ερ: Πώς υπολογίζετε την πολική δεύτερη ροπή του εμβαδού;

Α: Ο μαθηματικός τύπος για τον άμεσο υπολογισμό δίνεται ως πολλαπλό ολοκλήρωμα επί του εμβαδού ενός σχήματος, R, σε απόσταση ρ από έναν αυθαίρετο άξονα Ο. J_O=∬Rρ2dA. Στην πιο απλή μορφή, το πολικό δεύτερο