Υπόθεση Ρίμαν

Ποια είναι η συνάρτηση ζήτα του Riemann;

Η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι ένα είδος συνάρτησης. Οι συναρτήσεις είναι πράγματα στα μαθηματικά όπως οι εξισώσεις. Οι συναρτήσεις παίρνουν αριθμούς και σας επιστρέφουν άλλους αριθμούς. Αυτό είναι σαν να παίρνετε πίσω μια απάντηση όταν κάνετε μια ερώτηση. Ο αριθμός που βάζετε μέσα ονομάζεται "είσοδος". Ο αριθμός που παίρνετε πίσω ονομάζεται "τιμή". Κάθε είσοδος που βάζετε στη συνάρτηση Riemann zeta σας δίνει πίσω μια ειδική τιμή. Ως επί το πλείστον λαμβάνετε μια διαφορετική τιμή για κάθε είσοδο. Αλλά κάθε είσοδος σας δίνει την ίδια τιμή κάθε φορά που τη χρησιμοποιείτε. Τόσο η είσοδος που δίνετε, όσο και η τιμή που λαμβάνετε, από τη συνάρτηση Riemann zeta είναι ειδικοί αριθμοί που ονομάζονται μιγαδικοί αριθμοί. Ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένας αριθμός με δύο μέρη.

Τι είναι μια μη τετριμμένη ρίζα;

Μερικές φορές, όταν βάζετε μια είσοδο στη συνάρτηση ζήτα του Riemann, παίρνετε πίσω τον αριθμό μηδέν. Όταν συμβαίνει αυτό, ονομάζετε την είσοδο αυτή ρίζα της συνάρτησης Riemann zeta. Ονομάζετε την είσοδο "ρίζα" όταν σας δίνει το μηδέν. Έχουν βρεθεί πολλές ρίζες. Αλλά μερικές ρίζες είναι πιο εύκολο να βρεθούν από άλλες. Ονομάζουμε τις ρίζες "τετριμμένες" ή "μη τετριμμένες". Ονομάζουμε μια ρίζα "τετριμμένη" αν είναι εύκολο να βρεθεί. Αλλά ονομάζουμε μια ρίζα "μη τετριμμένη" αν είναι δύσκολο να βρεθεί. Οι τετριμμένες ρίζες είναι αριθμοί που ονομάζονται "αρνητικοί ζυγοί ακέραιοι αριθμοί". Ο λόγος που πιστεύουμε ότι είναι εύκολες είναι επειδή είναι εύκολο να τις βρούμε. Υπάρχουν ωραίοι κανόνες που λένε ποιες είναι οι τετριμμένες ρίζες. Ξέρουμε ποιες είναι οι τετριμμένες ρίζες λόγω της εξίσωσης που έδωσε ο Bernhard Riemann. Αυτή η εξίσωση ονομάζεται "συναρτησιακή εξίσωση του Ρίμαν".

Πώς βρίσκουμε μη τετριμμένες ρίζες;

Οι μη τετριμμένες ρίζες είναι πιο δύσκολο να βρεθούν. Είναι πιο δύσκολο να βρεθούν από τις τετριμμένες ρίζες. Δεν έχουν τους ίδιους κανόνες που λένε τι είναι. Παρόλο που είναι δύσκολο να βρεθούν, έχουν βρεθεί πολλές μη τετριμμένες ρίζες. Θυμηθείτε ότι η τιμή της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν ήταν ένα είδος αριθμού που ονομάζεται μιγαδικός αριθμός. Και θυμηθείτε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν δύο μέρη. Το ένα από αυτά τα μέρη ονομάζεται "πραγματικό μέρος". Παρατηρήσαμε ένα ενδιαφέρον πράγμα σχετικά με το πραγματικό μέρος των μη τετριμμένων ριζών. Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες που βρήκαμε έχουν ένα πραγματικό μέρος που είναι ο ίδιος αριθμός. Αυτός ο αριθμός είναι το 1/2, το οποίο είναι κλάσμα. Αυτό μας οδηγεί στο μεγάλο ερώτημα του Riemann, το οποίο αφορά το πόσο μεγάλα είναι τα πραγματικά μέρη. Αυτό το ερώτημα είναι η υπόθεση Riemann. Το ερώτημα είναι "όλες οι μη τετριμμένες ρίζες έχουν πραγματικό μέρος 1/2;". Ακόμα προσπαθούμε να βρούμε αν η απάντηση είναι "ναι" ή "όχι".

Δεν γνωρίζουμε ακόμη την απάντηση στο ερώτημα. Γνωρίζουμε όμως μερικά καλά στοιχεία. Αυτά τα γεγονότα μπορεί να μας βοηθήσουν. Υπάρχει ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρούμε γεγονότα για τα πραγματικά μέρη των μη τετριμμένων ριζών. Αυτό γίνεται με την ειδική εξίσωση του Riemann (συναρτησιακή εξίσωση του Riemann). Η συναρτησιακή εξίσωση του Riemann μας λέει για το μέγεθος των πραγματικών μερών. Λέει ότι όλα τα μη τετριμμένα μηδενικά έχουν πραγματικό μέρος κοντά στο 1/2. Λέει πόσο μικρά μπορούν να είναι τα πραγματικά μέρη και πόσο μεγάλα μπορούν να είναι. Αλλά δεν λέει ακριβώς ποια είναι αυτά. Συγκεκριμένα, λέει ότι τα πραγματικά μέρη πρέπει να είναι μεγαλύτερα από το 0. Αλλά πρέπει να είναι μικρότερα από το 1. Αλλά ακόμα δεν ξέρουμε αν μπορεί να υπάρχει μια μη τετριμμένη ρίζα με πραγματικό μέρος πολύ κοντά στο 1/2. Ίσως υπάρχει, αλλά δεν την έχουμε βρει ακόμα. Η ομάδα των μιγαδικών αριθμών που έχουν πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από το 0 αλλά μικρότερο από το 1 ονομάζεται "κρίσιμη λωρίδα".

Η εικόνα στην επάνω δεξιά γωνία αυτής της σελίδας δείχνει τη συνάρτηση ζήτα του Riemann. Οι μη τετριμμένες ρίζες εμφανίζονται με τις λευκές κουκκίδες. Φαίνονται σαν να είναι όλες σε μια γραμμή στο κέντρο της εικόνας. Δεν είναι πολύ μακριά προς τα αριστερά και όχι πολύ μακριά προς τα δεξιά. Το πραγματικό μέρος είναι πόσο μακριά από αριστερά προς τα δεξιά είστε. Το ότι βρίσκονται στη μέση της εικόνας σημαίνει ότι έχουν ένα πραγματικό μέρος του 1/2. Έτσι, όλες οι μη τετριμμένες ρίζες στην εικόνα έχουν πραγματικό μέρος 1/2. Αλλά η εικόνα μας δεν δείχνει τα πάντα, επειδή η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι πολύ μεγάλη για να την δείξουμε. Τι γίνεται λοιπόν με τις μη τετριμμένες ρίζες πάνω και κάτω από την εικόνα; Θα ήταν και αυτές στη μέση; Κι αν σπάσουν το μοτίβο του να βρίσκονται στη μέση; Θα μπορούσαν να είναι ελαφρώς αριστερά ή δεξιά. Η υπόθεση Riemann ρωτάει αν κάθε μη τετριμμένη ρίζα (λευκή κουκκίδα) θα βρισκόταν στην ευθεία κάτω από τη μέση. Αν η απάντηση είναι αρνητική, λέμε ότι η "υπόθεση είναι ψευδής". Αυτό θα σήμαινε ότι υπάρχουν λευκές τελείες που δεν βρίσκονται πάνω στη δεδομένη γραμμή.