Ακολουθία Φιμπονάτσι
Οι αριθμοί Φιμπονάτσι είναι μια ακολουθία αριθμών στα μαθηματικά που πήρε το όνομά της από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό ως Φιμπονάτσι. Ο Φιμπονάτσι έγραψε ένα βιβλίο το 1202, με τίτλο Liber Abaci ("Βιβλίο του υπολογισμού"), το οποίο εισήγαγε το μοτίβο αριθμών στα δυτικοευρωπαϊκά μαθηματικά, αν και οι μαθηματικοί στην Ινδία το γνώριζαν ήδη.
Ο πρώτος αριθμός του μοτίβου είναι το 0, ο δεύτερος αριθμός είναι το 1 και κάθε αριθμός μετά από αυτόν ισούται με την πρόσθεση των δύο αριθμών ακριβώς πριν από αυτόν. Για παράδειγμα 0+1=1 και 3+5=8. Αυτή η ακολουθία συνεχίζεται για πάντα.
Αυτό μπορεί να γραφτεί ως σχέση επανάληψης,
F n = F n - 1 + F n - 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} 
Για να έχει νόημα αυτό, πρέπει να δοθούν τουλάχιστον δύο σημεία εκκίνησης. Εδώ, F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
και F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1}
.
Μια σπείρα Φιμπονάτσι που δημιουργείται σχεδιάζοντας μια γραμμή μέσα από τα τετράγωνα του πλακιδίου Φιμπονάτσι- αυτή χρησιμοποιεί τετράγωνα των μεγεθών 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 και 34- βλέπε Χρυσή σπείρα.
Οι αριθμοί Φιμπονάτσι στη φύση
Οι αριθμοί Φιμπονάτσι σχετίζονται με τη χρυσή τομή, η οποία εμφανίζεται σε πολλά σημεία στα κτίρια και στη φύση. Μερικά παραδείγματα είναι το μοτίβο των φύλλων σε ένα στέλεχος, τα μέρη ενός ανανά, η ανθοφορία της αγκινάρας, το ξετύλιγμα μιας φτέρης και η διάταξη ενός κώνου πεύκου. Οι αριθμοί Φιμπονάτσι βρίσκονται επίσης στο γενεαλογικό δέντρο των μελισσών.
Κεφαλή ηλίανθου με άνθη σε σπείρες των 34 και 55 γύρω από το εξωτερικό της
Ο τύπος του Binet
Ο νιοστός αριθμός Φιμπονάτσι μπορεί να γραφτεί με βάση τη χρυσή τομή. Έτσι αποφεύγεται η χρήση αναδρομής για τον υπολογισμό των αριθμών Φιμπονάτσι, που μπορεί να πάρει πολύ χρόνο στον υπολογιστή.
F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}} 
Όπου φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 
, η χρυσή τομή.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Ερ: Τι είναι η ακολουθία Φιμπονάτσι;
A: Η ακολουθία Φιμπονάτσι είναι ένα μοτίβο αριθμών στα μαθηματικά που πήρε το όνομά του από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό ως Φιμπονάτσι. Ξεκινά με το 0 και το 1 και κάθε αριθμός μετά από αυτό ισούται με την πρόσθεση των δύο αριθμών ακριβώς πριν από αυτόν.
Ερ: Ποιος εισήγαγε αυτό το μοτίβο αριθμών στα δυτικοευρωπαϊκά μαθηματικά;
Α: Ο Φιμπονάτσι έγραψε ένα βιβλίο το 1202 με τίτλο Liber Abaci ("Βιβλίο του υπολογισμού"), το οποίο εισήγαγε το μοτίβο αριθμών στα δυτικοευρωπαϊκά μαθηματικά, αν και οι μαθηματικοί στην Ινδία το γνώριζαν ήδη.
Ερ: Πώς μπορεί να γραφτεί η ακολουθία Φιμπονάτσι;
Α: Η ακολουθία Φιμπονάτσι μπορεί να γραφτεί ως σχέση επανάληψης, όπου F_n = F_n-1 + F_n-2 για n ≥ 2.
Ερ: Ποια είναι τα σημεία εκκίνησης αυτής της αναδρομικής σχέσης;
Α: Για να έχει νόημα, πρέπει να δοθούν τουλάχιστον δύο σημεία εκκίνησης. Εδώ, F_0 = 0 και F_1 = 1.
Ερ: Η ακολουθία Φιμπονάτσι συνεχίζεται για πάντα;
Α: Ναι, η ακολουθία συνεχίζεται για πάντα.
Ερ: Πού έμαθαν για πρώτη φορά οι μαθηματικοί για αυτό το αριθμητικό μοτίβο; Α: Οι μαθηματικοί στην Ινδία ήταν ήδη εξοικειωμένοι με αυτό το αριθμητικό μοτίβο πριν αυτό εισαχθεί στη Δυτική Ευρώπη από τον Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι).
