Το πρόβλημα Monty Hall είναι ένα διάσημο πρόβλημα πιθανοτήτων (τύχης). Το πρόβλημα βασίζεται σε ένα τηλεοπτικό τηλεπαιχνίδι από τις Ηνωμένες Πολιτείες, το Let's Make a Deal. Έχει πάρει το όνομά του από την εκπομπή αυτή, Monty Hall.
Στο πρόβλημα υπάρχουν τρεις πόρτες. Ένα αυτοκίνητο (έπαθλο υψηλής αξίας) βρίσκεται πίσω από τη μία πόρτα και κατσίκες (έπαθλα χαμηλής αξίας) πίσω από τις άλλες δύο πόρτες. Αρχικά, ο παίκτης επιλέγει μια πόρτα αλλά δεν την ανοίγει. Στη συνέχεια, ο οικοδεσπότης, ο οποίος γνωρίζει τι βρίσκεται πίσω από κάθε πόρτα, ανοίγει μια διαφορετική πόρτα, για την οποία είναι σίγουρος ότι έχει πίσω της μια κατσίκα (ανοίγοντας οποιαδήποτε πόρτα με ίσες πιθανότητες, αν το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα του παίκτη). Τέλος, ο οικοδεσπότης αφήνει τον παίκτη να επιλέξει αν θα κρατήσει αυτό που βρίσκεται πίσω από την πρώτη πόρτα ή αν θα αλλάξει επιλογές για την τρίτη πόρτα (αυτή που δεν άνοιξε ο οικοδεσπότης). Οι κανόνες του προβλήματος είναι ότι ο οικοδεσπότης πρέπει να ανοίξει μια πόρτα με μια κατσίκα από πίσω και πρέπει να αφήσει τον παίκτη να αλλάξει. Το ερώτημα είναι αν η αλλαγή επιλογών αυξάνει τις πιθανότητες να πάρει το αυτοκίνητο.
Οι πιθανότητες να βρίσκεται το αυτοκίνητο πίσω από τις δύο πόρτες που παραμένουν κλειστές φαίνονται ίσες, οπότε οι περισσότεροι λένε ότι η αλλαγή επιλογών δεν αυξάνει τις πιθανότητες να πάρετε το αυτοκίνητο. Η αληθινή απάντηση είναι ότι η αλλαγή επιλογών αυξάνει τις πιθανότητες να πάρουμε το αυτοκίνητο από 1/3 (ένα στα τρία) σε 2/3 (δύο στα τρία).
Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο παίκτης, επιλέγοντας μια πόρτα από τις τρεις, έχει μια πιθανότητα στις τρεις να επιλέξει την πόρτα με το αυτοκίνητο. Η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται κάπου πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι δύο στις τρεις. Έτσι, για να βελτιώσει τις πιθανότητες να κερδίσει ένα αυτοκίνητο, ο παίκτης, αν του δοθεί η δυνατότητα επιλογής, θα πρέπει να ανταλλάξει αμέσως τη μία πόρτα με τις άλλες δύο πόρτες. Αλλά περιμένετε! Ο οικοδεσπότης προσπαθεί στη συνέχεια να μπερδέψει τον παίκτη ανοίγοντας μια από τις δικές του κατσικοπόρτες. Αυτό δεν αλλάζει τίποτα, να θυμάστε ότι ο παίκτης εξακολουθεί να ανταλλάσσει τη μία πόρτα του με τις άλλες δύο πόρτες (παρόλο που η μία από αυτές έχει ανοίξει).
Αυτές είναι οι επιλογές:
1. (Χάνει): Αν ο παίκτης επιλέξει το αυτοκίνητο, τότε ο οικοδεσπότης θα δείξει μια κατσίκα. Στη συνέχεια, αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, θα πάρει μια κατσίκα .
2. (Κερδίστε) : Αν ο παίκτης επιλέξει μια κατσίκα, τότε ο οικοδεσπότης θα δείξει την άλλη κατσίκα. Στη συνέχεια, αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, θα πάρει ένα αυτοκίνητο.
3. (Νίκη) : Εάν ο παίκτης επιλέξει την άλλη κατσίκα, τότε ο οικοδεσπότης θα δείξει την πρώτη κατσίκα. Στη συνέχεια, αν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του, θα πάρει ένα αυτοκίνητο.
Έτσι, είναι αλήθεια ότι αν ο παίκτης αλλάξει (αλλάξει), τότε ο παίκτης θα κερδίσει ένα αυτοκίνητο δύο φορές στις τρεις.