Αλγεβρική ποικιλία
Στα μαθηματικά, οι αλγεβρικές ποικιλίες (επίσης αποκαλούμενες ποικιλίες) είναι ένα από τα κεντρικά αντικείμενα μελέτης της αλγεβρικής γεωμετρίας. Οι πρώτοι ορισμοί της αλγεβρικής ποικιλίας την όρισαν ως το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων, πάνω στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς. Οι σύγχρονοι ορισμοί μιας αλγεβρικής ποικιλίας γενικεύουν αυτή την έννοια, ενώ προσπαθούν να διατηρήσουν τη γεωμετρική διαίσθηση πίσω από τον αρχικό ορισμό.
Οι συμβάσεις σχετικά με τον ορισμό μιας αλγεβρικής ποικιλίας διαφέρουν: (που σημαίνει ότι δεν είναι η ένωση δύο μικρότερων συνόλων που είναι κλειστά στην τοπολογία Zariski), ενώ άλλοι όχι. Όταν χρησιμοποιείται η πρώτη σύμβαση, οι μη αναγωγίσιμες αλγεβρικές ποικιλίες ονομάζονται αλγεβρικά σύνολα.
Η έννοια της ποικιλίας είναι παρόμοια με εκείνη της πολλαπλότητας. Μια διαφορά μεταξύ μιας ποικιλίας και μιας πολλαπλότητας είναι ότι μια ποικιλία μπορεί να έχει μοναδικά σημεία, ενώ μια πολλαπλότητα όχι. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, που αποδείχθηκε γύρω στο 1800, δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας, δείχνοντας ότι ένα μονικό πολυώνυμο σε μια μεταβλητή με σύνθετους συντελεστές (ένα αλγεβρικό αντικείμενο) καθορίζεται από το σύνολο των ριζών του (ένα γεωμετρικό αντικείμενο). Γενικεύοντας αυτό το αποτέλεσμα, η Nullstellensatz του Hilbert παρέχει μια θεμελιώδη αντιστοιχία μεταξύ ιδανικών πολυωνυμικών δακτυλίων και αλγεβρικών συνόλων. Χρησιμοποιώντας την Nullstellensatz και συναφή αποτελέσματα, οι μαθηματικοί έχουν καθιερώσει μια ισχυρή αντιστοιχία μεταξύ ερωτημάτων σχετικά με τα αλγεβρικά σύνολα και ερωτημάτων της θεωρίας δακτυλίων. Αυτή η αντιστοιχία αποτελεί την ιδιαιτερότητα της αλγεβρικής γεωμετρίας μεταξύ των άλλων υποπεριοχών της γεωμετρίας.
Η στριμμένη κυβική είναι μια προβολική αλγεβρική ποικιλία.
Ερωτήσεις και απαντήσεις
Q: Τι είναι οι αλγεβρικές ποικιλίες;
A: Οι αλγεβρικές ποικιλίες είναι ένα από τα κεντρικά αντικείμενα μελέτης της αλγεβρικής γεωμετρίας. Ορίζονται ως το σύνολο των λύσεων ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων, πάνω στους πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς.
Ερ: Πώς διαφέρουν οι σύγχρονοι ορισμοί από τον αρχικό ορισμό;
Α: Οι σύγχρονοι ορισμοί προσπαθούν να διατηρήσουν τη γεωμετρική διαίσθηση πίσω από τον αρχικό ορισμό, ενώ παράλληλα τον γενικεύουν. Ορισμένοι συγγραφείς απαιτούν ότι μια "αλγεβρική ποικιλία" είναι, εξ ορισμού, μη αναγωγική (που σημαίνει ότι δεν είναι η ένωση δύο μικρότερων συνόλων που είναι κλειστά στην τοπολογία Zariski), ενώ άλλοι όχι.
Ερ: Ποια είναι μια διαφορά μεταξύ μιας ποικιλίας και μιας πολλαπλότητας;
Α: Μια ποικιλία μπορεί να έχει μοναδικά σημεία, ενώ μια πολλαπλότητα όχι.
Ερ: Τι ορίζει το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας;
Α: Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας εγκαθιδρύει έναν σύνδεσμο μεταξύ άλγεβρας και γεωμετρίας δείχνοντας ότι ένα μονικό πολυώνυμο σε μία μεταβλητή με μιγαδικούς συντελεστές (ένα αλγεβρικό αντικείμενο) καθορίζεται από το σύνολο των ριζών του (ένα γεωμετρικό αντικείμενο).
Ερ: Τι παρέχει η Nullstellensatz του Χίλμπερτ;
Α: Η Nullstellensatz του Hilbert παρέχει μια θεμελιώδη αντιστοιχία μεταξύ ιδανικών πολυωνυμικών δακτυλίων και αλγεβρικών συνόλων.
Ερ: Πώς έχει χρησιμοποιηθεί αυτή η αντιστοιχία από τους μαθηματικούς;
Α: Οι μαθηματικοί έχουν καθιερώσει μια ισχυρή αντιστοιχία μεταξύ ερωτημάτων σχετικά με αλγεβρικά σύνολα και ερωτημάτων της θεωρίας δακτυλίων χρησιμοποιώντας αυτή την αντιστοιχία.
Ερ: Τι κάνει τη συγκεκριμένη περιοχή μοναδική μεταξύ άλλων υποπεριοχών της γεωμετρίας; Α: Αυτή η ισχυρή αντιστοιχία μεταξύ των ερωτημάτων για τα αλγεβρικά σύνολα και των ερωτημάτων της θεωρίας δακτυλίων καθιστά τη συγκεκριμένη περιοχή μοναδική μεταξύ άλλων υποπεριοχών της γεωμετρίας.
