Αλγεβρική γεωμετρία

Η αλγεβρική γεωμετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις πολυωνυμικές εξισώσεις. Η σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία βασίζεται σε πιο αφηρημένες τεχνικές της αφηρημένης άλγεβρας, ιδίως της αντιμεταθετικής άλγεβρας, με τη γλώσσα και τα προβλήματα της γεωμετρίας.

Τα κύρια αντικείμενα μελέτης της αλγεβρικής γεωμετρίας είναι οι αλγεβρικές ποικιλίες, οι οποίες είναι γεωμετρικές εκδηλώσεις των συνόλων λύσεων συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων. Παραδείγματα των πιο μελετημένων κατηγοριών αλγεβρικών ποικιλιών είναι: οι επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες, οι οποίες περιλαμβάνουν τις ευθείες, τους κύκλους, τις παραβολές, τις ελλείψεις, τις υπερβολές, τις κυβικές καμπύλες όπως οι ελλειπτικές καμπύλες και τις τεταρτοκυκλικές καμπύλες όπως οι λεμνίσκοι, και τα ωοειδή Cassini. Ένα σημείο του επιπέδου ανήκει σε μια αλγεβρική καμπύλη αν οι συντεταγμένες του ικανοποιούν μια δεδομένη πολυωνυμική εξίσωση. Τα βασικά ερωτήματα αφορούν τη μελέτη των σημείων ειδικού ενδιαφέροντος όπως τα μοναδικά σημεία, τα σημεία καμπής και τα σημεία στο άπειρο. Πιο προχωρημένα ερωτήματα αφορούν την τοπολογία της καμπύλης και τις σχέσεις μεταξύ των καμπυλών που δίνονται από διαφορετικές εξισώσεις.

Η αλγεβρική γεωμετρία κατέχει κεντρική θέση στα σύγχρονα μαθηματικά. Οι έννοιες που χρησιμοποιεί τη συνδέουν με τόσο διαφορετικά πεδία όπως η μιγαδική ανάλυση, η τοπολογία και η θεωρία αριθμών. Στην αρχή, η αλγεβρική γεωμετρία αφορούσε τη μελέτη συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων σε πολλές μεταβλητές. Η αλγεβρική γεωμετρία ξεκινά από το σημείο όπου σταματά η επίλυση εξισώσεων: Σε πολλές περιπτώσεις, η εύρεση των ιδιοτήτων που έχουν όλες οι λύσεις ενός δεδομένου συνόλου εξισώσεων είναι πιο σημαντική από την εύρεση μιας συγκεκριμένης λύσης: αυτό οδηγεί σε μερικές από τις βαθύτερες περιοχές σε όλα τα μαθηματικά, τόσο εννοιολογικά όσο και από άποψη τεχνικής.

Τον 20ό αιώνα, η αλγεβρική γεωμετρία διασπάστηκε σε διάφορους επιμέρους τομείς.

• Το κύριο ρεύμα της αλγεβρικής γεωμετρίας είναι αφιερωμένο στη μελέτη των μιγαδικών σημείων των αλγεβρικών ποικιλιών και γενικότερα των σημείων με συντεταγμένες σε ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο.
• Η μελέτη των σημείων μιας αλγεβρικής ποικιλίας με συντεταγμένες στο πεδίο των λογικών αριθμών ή σε ένα αριθμητικό πεδίο έγινε αριθμητική γεωμετρία (ή πιο κλασικά διοφαντική γεωμετρία), ένα υποπεδίο της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
• Η μελέτη των πραγματικών σημείων μιας αλγεβρικής ποικιλίας είναι το αντικείμενο της πραγματικής αλγεβρικής γεωμετρίας.
• Ένα μεγάλο μέρος της θεωρίας ιδιομορφίας είναι αφιερωμένο στις ιδιομορφίες των αλγεβρικών ποικιλιών.
• Όταν οι υπολογιστές έγιναν πιο διαδεδομένοι, αναπτύχθηκε ένας τομέας που ονομάστηκε "υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία". Εξετάζει τη διασταύρωση της αλγεβρικής γεωμετρίας και της άλγεβρας υπολογιστών. Ασχολείται με την ανάπτυξη αλγορίθμων και λογισμικού για τη μελέτη και την εύρεση των ιδιοτήτων ρητά δοσμένων αλγεβρικών ποικιλιών.

Μεγάλο μέρος της ανάπτυξης του κύριου ρεύματος της αλγεβρικής γεωμετρίας κατά τον 20ό αιώνα έγινε μέσα σε ένα αφηρημένο αλγεβρικό πλαίσιο, με αυξανόμενη έμφαση στις "εγγενείς" ιδιότητες των αλγεβρικών ποικιλιών που δεν εξαρτώνται από οποιονδήποτε συγκεκριμένο τρόπο ενσωμάτωσης της ποικιλίας σε έναν περιβάλλοντα χώρο συντεταγμένων. Οι εξελίξεις στην τοπολογία, τη διαφορική και τη μιγαδική γεωμετρία έγιναν με τον ίδιο τρόπο. Ένα βασικό επίτευγμα αυτής της αφηρημένης αλγεβρικής γεωμετρίας είναι η θεωρία σχημάτων του Grothendieck, η οποία επιτρέπει τη χρήση της θεωρίας των φύλλων για τη μελέτη αλγεβρικών ποικιλιών με τρόπο που μοιάζει πολύ με τη χρήση της στη μελέτη των διαφορικών και αναλυτικών πολλαπλών. Αυτό επιτυγχάνεται με την επέκταση της έννοιας του σημείου: Στην κλασική αλγεβρική γεωμετρία, ένα σημείο μιας affine ποικιλίας μπορεί να ταυτιστεί, μέσω της Nullstellensatz του Hilbert, με ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων, ενώ τα σημεία του αντίστοιχου affine σχήματος είναι όλα πρωταρχικά ιδεώδη αυτού του δακτυλίου. Αυτό σημαίνει ότι ένα σημείο ενός τέτοιου σχήματος μπορεί να είναι είτε ένα συνηθισμένο σημείο είτε μια υποποικιλία. Η προσέγγιση αυτή επιτρέπει επίσης την ενοποίηση της γλώσσας και των εργαλείων της κλασικής αλγεβρικής γεωμετρίας, που ασχολείται κυρίως με τα μιγαδικά σημεία, και της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Η απόδειξη της μακροχρόνιας εικασίας που ονομάζεται τελευταίο θεώρημα του Φερμά από τον Wiles είναι ένα παράδειγμα της δύναμης αυτής της προσέγγισης.

Ερωτήσεις και απαντήσεις

Ερ: Τι είναι η αλγεβρική γεωμετρία;

Ερ: Ποιες τεχνικές χρησιμοποιούνται στη σύγχρονη αλγεβρική γεωμετρία;

Ερ: Τι είδους εξισώσεις μελετά η αλγεβρική γεωμετρία;

Ερ: Πώς χρησιμοποιεί την αφηρημένη άλγεβρα;

Ερ: Υπάρχει συγκεκριμένος τύπος γλώσσας που χρησιμοποιείται σε αυτό το πεδίο;

Ερ: Πώς έχει επηρεάσει η σύγχρονη τεχνολογία αυτόν τον τομέα;

Αναζήτηση με γράμμα