Υπερβολική γεωμετρία

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα της υπερβολικής γεωμετρίας προκύπτει από την εμφάνιση περισσότερων από μία παράλληλων γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο P: υπάρχουν δύο κατηγορίες μη τεμνόμενων γραμμών. Έστω B το σημείο στο l έτσι ώστε η ευθεία PB να είναι κάθετη στο l. Θεωρήστε την ευθεία x μέσω του P έτσι ώστε η x να μην τέμνει το l, και η γωνία θ μεταξύ PB και x αριστερόστροφα από το PB να είναι όσο το δυνατόν μικρότερη- δηλαδή, οποιαδήποτε μικρότερη γωνία θα αναγκάσει την ευθεία να τέμνει το l. Αυτή ονομάζεται ασυμπτωτική ευθεία στην υπερβολική γεωμετρία. Συμμετρικά, η ευθεία y που σχηματίζει την ίδια γωνία θ μεταξύ της PB και του εαυτού της αλλά δεξιόστροφα από την PB θα είναι επίσης ασυμπτωτική. x και y είναι οι μόνες δύο γραμμές ασυμπτωτικές προς την l μέσω του P. Όλες οι άλλες γραμμές μέσω του P που δεν τέμνουν την l, με γωνία μεγαλύτερη από θ με την PB, ονομάζονται υπερπαράλληλες (ή ασύμπτωτα παράλληλες) προς την l. Σημειώστε ότι αφού υπάρχει άπειρος αριθμός πιθανών γωνιών μεταξύ θ και 90 μοιρών, και κάθε μία θα προσδιορίζει δύο ευθείες που διέρχονται από το P και είναι ασύζευκτα παράλληλες με την l, υπάρχει άπειρος αριθμός υπερπαράλληλων ευθειών.

Έτσι έχουμε αυτή την τροποποιημένη μορφή του παράλληλου αξιώματος: Υπάρχουν ακριβώς δύο ευθείες μέσω του P οι οποίες είναι ασυμπτωτικές προς το l, και άπειρες ευθείες μέσω του P υπερπαράλληλες προς το l.

Οι διαφορές μεταξύ αυτών των τύπων γραμμών μπορούν επίσης να εξεταστούν με τον ακόλουθο τρόπο: η απόσταση μεταξύ ασυμπτωτικών γραμμών μηδενίζεται προς τη μία κατεύθυνση και αυξάνεται χωρίς όριο προς την άλλη- η απόσταση μεταξύ υπερπαράλληλων γραμμών αυξάνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις. Το υπερπαράλληλο θεώρημα δηλώνει ότι υπάρχει μια μοναδική ευθεία στο υπερβολικό επίπεδο που είναι κάθετη σε κάθε μία από ένα δεδομένο ζεύγος υπερπαράλληλων ευθειών.

Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η γωνία παραλληλίας είναι μια σταθερά- δηλαδή, οποιαδήποτε απόσταση ‖ B P ‖ {\displaystyle \lVert BP\rVert } μεταξύ παράλληλων ευθειών δίνει μια γωνία παραλληλίας ίση με 90°. Στην υπερβολική γεωμετρία, η γωνία παραλληλίας μεταβάλλεται με τη συνάρτηση Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)}. Αυτή η συνάρτηση, που περιγράφηκε από τον Nikolai Ivanovich Lobachevsky, παράγει μια μοναδική γωνία παραλληλίας για κάθε απόσταση p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . Καθώς η απόσταση μικραίνει, η Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} πλησιάζει τις 90°, ενώ με την αύξηση της απόστασης η Π ( p ) {\displaystyle \Pi (p)} πλησιάζει τις 0°. Έτσι, καθώς οι αποστάσεις μικραίνουν, το υπερβολικό επίπεδο συμπεριφέρεται όλο και περισσότερο όπως η ευκλείδεια γεωμετρία. Πράγματι, σε μικρές κλίμακες σε σύγκριση με 1- K {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-K}}}} , όπου K {\displaystyle K\! } είναι η (σταθερή) γκαουσιανή καμπυλότητα του επιπέδου, ένας παρατηρητής θα δυσκολευόταν να προσδιορίσει αν βρίσκεται στο ευκλείδειο ή στο υπερβολικό επίπεδο.

Πολλοί γεωμέτρες προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα της παραλληλίας, όπως ο Ομάρ Καγιάμ και αργότερα οι Τζιοβάνι Τζερόλαμο Σακκέρι, Τζον Γουάλις, Λαμπέρ και Λεζάντρ. Οι προσπάθειές τους απέτυχαν, αλλά οι προσπάθειές τους γέννησαν την υπερβολική γεωμετρία. Τα θεωρήματα του Alhacen, Khayyam για τα τετράπλευρα, ήταν τα πρώτα θεωρήματα για την υπερβολική γεωμετρία. Τα έργα τους για την υπερβολική γεωμετρία επηρέασαν την ανάπτυξή της από τους μεταγενέστερους Ευρωπαίους γεωμέτρες, συμπεριλαμβανομένων των Witelo, Alfonso και John Wallis.

Τον δέκατο ένατο αιώνα, η υπερβολική γεωμετρία διερευνήθηκε από τον János Bolyai και τον Nikolai Ivanovich Lobachevsky, από τον οποίο μερικές φορές πήρε το όνομά της. Ο Lobachevsky δημοσίευσε το 1830, ενώ ο Bolyai την ανακάλυψε ανεξάρτητα και δημοσίευσε το 1832. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους μελέτησε επίσης την υπερβολική γεωμετρία, περιγράφοντας σε μια επιστολή του 1824 προς τον Ταυρίνο ότι την είχε κατασκευάσει, αλλά δεν δημοσίευσε το έργο του. Το 1868, ο Eugenio Beltrami παρείχε μοντέλα της και τα χρησιμοποίησε για να αποδείξει ότι η υπερβολική γεωμετρία ήταν συνεπής, αν η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν.

Ο όρος "υπερβολική γεωμετρία" εισήχθη από τον Felix Klein το 1871. Για περισσότερα ιστορικά στοιχεία, βλ. το λήμμα μη ευκλείδεια γεωμετρία.

Υπάρχουν τρία μοντέλα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο Klein, το μοντέλο του δίσκου Poincaré και το μοντέλο Lorentz, ή μοντέλο υπερβολοειδούς. Αυτά τα μοντέλα ορίζουν έναν πραγματικό υπερβολικό χώρο που ικανοποιεί τα αξιώματα μιας υπερβολικής γεωμετρίας. Παρά την ονομασία, τα δύο μοντέλα δίσκου και το μοντέλο ημιεπιπέδου εισήχθησαν ως μοντέλα του υπερβολικού χώρου από τον Beltrami και όχι από τον Poincaré ή τον Klein.

1. Το μοντέλο Klein, επίσης γνωστό ως μοντέλο προβολικού δίσκου και μοντέλο Beltrami-Klein, χρησιμοποιεί το εσωτερικό ενός κύκλου για το υπερβολικό επίπεδο και τις χορδές του κύκλου ως γραμμές.
2. Το μοντέλο του μισού επιπέδου του Πουανκαρέ θεωρεί ότι το μισό ευκλείδειο επίπεδο, όπως καθορίζεται από μια ευκλείδεια γραμμή Β, είναι το υπερβολικό επίπεδο (η ίδια η Β δεν περιλαμβάνεται).
• Οι υπερβολικές ευθείες είναι τότε είτε ημικύκλιοι ορθογώνιοι προς το Β είτε ακτίνες κάθετες προς το Β.
• Και τα δύο μοντέλα Πουανκαρέ διατηρούν τις υπερβολικές γωνίες και είναι συνεπώς συμμορφούμενα. Όλες οι ισομετρίες σε αυτά τα μοντέλα είναι επομένως μετασχηματισμοί Möbius.
• Το μοντέλο του ημιεπιπέδου είναι πανομοιότυπο (στο όριο) με το μοντέλο του δίσκου Poincaré στην άκρη του δίσκου.
• Το μοντέλο αυτό έχει άμεση εφαρμογή στην ειδική σχετικότητα, καθώς ο χώρος Μινκόφσκι 3 είναι ένα μοντέλο για τον χωροχρόνο, που καταστέλλει μια χωρική διάσταση. Μπορεί κανείς να θεωρήσει ότι το υπερβολοειδές αναπαριστά τα γεγονότα στα οποία θα φτάσουν διάφοροι κινούμενοι παρατηρητές, που ακτινοβολούν προς τα έξω σε ένα χωρικό επίπεδο από ένα σημείο, σε ένα σταθερό κατάλληλο χρόνο. Η υπερβολική απόσταση μεταξύ δύο σημείων του υπερβολοειδούς μπορεί τότε να ταυτιστεί με τη σχετική ταχύτητα μεταξύ των δύο αντίστοιχων παρατηρητών.

M. C. Escher τα διάσημα χαρακτικά Circle Limit III και Circle Limit IV απεικονίζουν αρκετά καλά το μοντέλο του σύμμορφου δίσκου. Και στα δύο μπορεί κανείς να δει τις γεωδαισιακές. (Στο III οι λευκές γραμμές δεν είναι γεωδαισιακές, αλλά υπερκύκλοι, οι οποίοι τρέχουν παράλληλα με αυτές). Μπορεί επίσης να δει κανείς αρκετά καθαρά την αρνητική καμπυλότητα του υπερβολικού επιπέδου, μέσω της επίδρασής της στο άθροισμα των γωνιών στα τρίγωνα και τα τετράγωνα.

Στο ευκλείδειο επίπεδο, το άθροισμα των γωνιών τους θα ήταν 450°, δηλαδή ένας κύκλος και ένα τέταρτο. Από αυτό βλέπουμε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου στο υπερβολικό επίπεδο πρέπει να είναι μικρότερο από 180°. Μια άλλη ορατή ιδιότητα είναι η εκθετική αύξηση. Στο Όριο κύκλου IV, για παράδειγμα, μπορεί κανείς να δει ότι ο αριθμός των αγγέλων και των δαιμόνων σε απόσταση n από το κέντρο αυξάνεται εκθετικά. Οι δαίμονες έχουν ίσο υπερβολικό εμβαδόν, οπότε το εμβαδόν μιας σφαίρας ακτίνας n πρέπει να αυξάνεται εκθετικά στο n.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για τη φυσική υλοποίηση ενός υπερβολικού επιπέδου (ή μιας προσέγγισής του). Ένα ιδιαίτερα γνωστό χάρτινο μοντέλο που βασίζεται στην ψευδοσφαίρα οφείλεται στον William Thurston. Η τέχνη του βελονιού έχει χρησιμοποιηθεί για την επίδειξη υπερβολικών επιπέδων με το πρώτο να έχει κατασκευαστεί από την Daina Taimina. Το 2000, ο Keith Henderson παρουσίασε ένα γρήγορα κατασκευάσιμο χάρτινο μοντέλο που ονομάστηκε "υπερβολική μπάλα ποδοσφαίρου".