Οι μαθηματικές βάσεις της ειδικής σχετικότητας είναι οι μετασχηματισμοί Lorentz, οι οποίοι περιγράφουν μαθηματικά τις απόψεις του χώρου και του χρόνου για δύο παρατηρητές που κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλον αλλά δεν υφίστανται επιτάχυνση.
Για να ορίσουμε τους μετασχηματισμούς χρησιμοποιούμε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων για να περιγράψουμε μαθηματικά το χρόνο και το χώρο των "γεγονότων".
Κάθε παρατηρητής μπορεί να περιγράψει ένα γεγονός ως τη θέση κάποιου στοιχείου στο χώρο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, χρησιμοποιώντας συντεταγμένες (x,y,z,t).
Η θέση του συμβάντος ορίζεται στις τρεις πρώτες συντεταγμένες (x,y,z) σε σχέση με ένα αυθαίρετο κέντρο (0,0,0), έτσι ώστε η (3,3,3) να είναι μια διαγώνιος που εκτείνεται κατά 3 μονάδες απόστασης (όπως μέτρα ή μίλια) προς κάθε κατεύθυνση.
Ο χρόνος του γεγονότος περιγράφεται με την τέταρτη συντεταγμένη t σε σχέση με ένα αυθαίρετο σημείο (0) του χρόνου σε κάποια μονάδα χρόνου (όπως δευτερόλεπτα ή ώρες ή χρόνια).
Έστω ένας παρατηρητής Κ ο οποίος περιγράφει πότε συμβαίνουν τα γεγονότα με μια χρονική συντεταγμένη t και ο οποίος περιγράφει πού συμβαίνουν τα γεγονότα με τις χωρικές συντεταγμένες x, y και z. Αυτό ορίζει μαθηματικά τον πρώτο παρατηρητή του οποίου η "οπτική γωνία" θα είναι η πρώτη μας αναφορά.
Ας διευκρινίσουμε ότι ο χρόνος ενός γεγονότος δίνεται: από την ώρα που παρατηρείται t(παρατηρείται) (π.χ. σήμερα, στις 12 η ώρα) μείον το χρόνο που χρειάστηκε η παρατήρηση για να φτάσει στον παρατηρητή.
Αυτή μπορεί να υπολογιστεί ως η απόσταση από τον παρατηρητή μέχρι το γεγονός d(παρατηρείται) (ας πούμε ότι το γεγονός βρίσκεται σε ένα αστέρι που απέχει 1 έτος φωτός, οπότε το φως χρειάζεται 1 έτος για να φτάσει στον παρατηρητή) διαιρούμενη με το c, την ταχύτητα του φωτός (αρκετά εκατομμύρια μίλια την ώρα), την οποία ορίζουμε ως την ίδια για όλους τους παρατηρητές.
Αυτό είναι σωστό, διότι η απόσταση διαιρούμενη με την ταχύτητα δίνει το χρόνο που χρειάζεται για να διανύσετε αυτή την απόσταση με αυτή την ταχύτητα (π.χ. 30 μίλια διαιρούμενα με 10 μίλια/ώρα: μας δίνουν 3 ώρες, διότι αν πηγαίνετε με 10 μίλια/ώρα για 3 ώρες, φτάνετε τα 30 μίλια). Έτσι, έχουμε:
t = d / c {\displaystyle t=d/c} 
Αυτό είναι ο μαθηματικός ορισμός του τι σημαίνει ο "χρόνος" για κάθε παρατηρητή.
Τώρα με αυτούς τους ορισμούς, ας υπάρχει ένας άλλος παρατηρητής Κ' που είναι
- που κινείται κατά μήκος του άξονα x του Κ με ρυθμό v,
- έχει σύστημα χωρικών συντεταγμένων x' , y' και z' ,
όπου ο άξονας x' συμπίπτει με τον άξονα x και με τους άξονες y' και z' - "είναι πάντα παράλληλος" με τους άξονες y και z.
Αυτό σημαίνει ότι όταν ο Κ' δίνει μια θέση όπως το (3,1,2), το x (που είναι το 3 σε αυτό το παράδειγμα) είναι το ίδιο μέρος για το οποίο θα μιλούσε ο Κ, ο πρώτος παρατηρητής, αλλά το 1 στον άξονα y ή το 2 στον άξονα z είναι παράλληλο μόνο με κάποια θέση στο σύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή Κ', και
- όπου τα K και K' συμπίπτουν στο t = t' = 0
Αυτό σημαίνει ότι η συντεταγμένη (0,0,0,0,0) είναι το ίδιο γεγονός και για τους δύο παρατηρητές.
Με άλλα λόγια, και οι δύο παρατηρητές έχουν (τουλάχιστον) έναν χρόνο και μια θέση στην οποία συμφωνούν και οι δύο, η οποία είναι η θέση και ο χρόνος μηδέν.
Οι μετασχηματισμοί Lorentz τότε είναι
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
, και
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Ορίστε ότι ένα γεγονός έχει συντεταγμένες χωροχρόνου (t,x,y,z) στο σύστημα S και (t′,x′,y′,z′) σε ένα σύστημα αναφοράς που κινείται με ταχύτητα v σε σχέση με το εν λόγω σύστημα, S′. Τότε ο μετασχηματισμός Lorentz ορίζει ότι οι συντεταγμένες αυτές συνδέονται με τον ακόλουθο τρόπο: είναι ο παράγοντας Lorentz και c είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και η ταχύτητα v του S′ είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Για λόγους απλότητας, οι συντεταγμένες y και z δεν επηρεάζονται- μετασχηματίζονται μόνο οι συντεταγμένες x και t. Αυτοί οι μετασχηματισμοί Lorentz σχηματίζουν μια ομάδα γραμμικών απεικονίσεων μιας παραμέτρου, η οποία παράμετρος ονομάζεται ταχύτητα.
Η επίλυση των παραπάνω τεσσάρων εξισώσεων μετασχηματισμού για τις μη-πρωτογενείς συντεταγμένες δίνει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lorentz:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Η επιβολή αυτού του αντίστροφου μετασχηματισμού Lorentz ώστε να συμπίπτει με τον μετασχηματισμό Lorentz από το σύστημα με το αρχικό σύστημα στο σύστημα χωρίς αρχικό σύστημα, δείχνει ότι το σύστημα χωρίς αρχικό σύστημα κινείται με ταχύτητα v′ = -v, όπως μετράται στο σύστημα με το αρχικό σύστημα.
Δεν υπάρχει τίποτα το ιδιαίτερο στον άξονα x. Ο μετασχηματισμός μπορεί να εφαρμοστεί στον άξονα y- ή z-, ή στην πραγματικότητα σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, η οποία μπορεί να γίνει με κατευθύνσεις παράλληλες προς την κίνηση (οι οποίες στρεβλώνονται από τον παράγοντα γ) και κάθετες- δείτε το άρθρο Μετασχηματισμός Lorentz για λεπτομέρειες.
Μια ποσότητα αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz είναι γνωστή ως κλιμάκιο Lorentz.
Γράφοντας τον μετασχηματισμό Lorentz και τον αντίστροφό του σε όρους διαφορών συντεταγμένων, όπου ένα γεγονός έχει συντεταγμένες (x1, t1) και (x′1, t′1), ένα άλλο γεγονός έχει συντεταγμένες (x2, t2) και (x′2, t′2) και οι διαφορές ορίζονται ως εξής
Εξ. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Εξίσωση 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ . } 
έχουμε
Εξ. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . } 
Εξ. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ } 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . } 
Αν πάρουμε διαφορικές αντί για διαφορές, έχουμε
Εξ. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ \ } 
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . } 
Εξ. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ } 
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . } 
