Θεωρήστε μια επιφάνεια S στην οποία ορίζεται ένα κλιμακωτό πεδίο f. Αν θεωρήσουμε ότι η S είναι φτιαγμένη από κάποιο υλικό και για κάθε x στην S ο αριθμός f(x) είναι η πυκνότητα του υλικού στο x, τότε το επιφανειακό ολοκλήρωμα της f πάνω στην S είναι η μάζα ανά μονάδα πάχους της S. (Αυτό ισχύει μόνο αν η επιφάνεια είναι ένα απειροελάχιστα λεπτό κέλυφος.) Μια προσέγγιση για τον υπολογισμό του επιφανειακού ολοκληρώματος είναι τότε να χωρίσουμε την επιφάνεια σε πολλά πολύ μικρά κομμάτια, να υποθέσουμε ότι σε κάθε κομμάτι η πυκνότητα είναι περίπου σταθερή, να βρούμε τη μάζα ανά μονάδα πάχους κάθε κομματιού πολλαπλασιάζοντας την πυκνότητα του κομματιού επί το εμβαδόν του και στη συνέχεια να αθροίσουμε τους αριθμούς που προκύπτουν για να βρούμε τη συνολική μάζα ανά μονάδα πάχους του S.
Για να βρουν έναν ρητό τύπο για το επιφανειακό ολοκλήρωμα, οι μαθηματικοί παραμετροποιούν το S θεωρώντας στο S ένα σύστημα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, όπως το γεωγραφικό πλάτος και μήκος σε μια σφαίρα. Έστω μια τέτοια παραμετροποίηση x(s, t), όπου το (s, t) μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή T στο επίπεδο. Τότε, το επιφανειακό ολοκλήρωμα δίνεται από τη σχέση
∫ S f d S = ∬ T f ( x ( s , t ) ) | ∂ x ∂ s × ∂ x ∂ t | d s d t {\displaystyle \int _{S}f\,dS=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt} 
όπου η έκφραση μεταξύ των ράβδων στη δεξιά πλευρά είναι το μέγεθος του διασταυρούμενου γινομένου των μερικών παραγώγων του x(s, t).
Για παράδειγμα, για να βρούμε την επιφάνεια κάποιου γενικού λειτουργικού σχήματος, ας πούμε z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f\,(x,y)}
, έχουμε
A = ∫ S d S = ∬ T ‖ ∂ r ∂ x × ∂ r ∂ y ‖ d x d y {\displaystyle A=\int _{S}\,dS=\iint _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy} 
όπου r = ( x , y , z ) = ( x , y , f ( x , y ) ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}
. Άρα ∂ r ∂ x = ( 1 , 0 , f x ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))} 
, και ∂ r ∂ y = ( 0 , 1 , f y ( x , y ) ) {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}
. Οπότε,
A = ∬ T ‖ ( 1 , 0 , ∂ f ∂ x ) × ( 0 , 1 , ∂ f ∂ y ) ‖ d x d y = ∬ T ‖ ( - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1 ) ‖ d x d y = ∬ T ( ∂ f ∂ x ) 2 + ( ∂ f ∂ y ) 2 + 1 d x d y {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\\&{}=\iint _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}} 
ο οποίος είναι ο τύπος που χρησιμοποιείται για την επιφάνεια ενός γενικού λειτουργικού σχήματος. Μπορεί κανείς να αναγνωρίσει το διάνυσμα στη δεύτερη γραμμή παραπάνω ως το κανονικό διάνυσμα στην επιφάνεια.
Σημειώστε ότι λόγω της παρουσίας του διασταυρούμενου γινομένου, οι παραπάνω τύποι λειτουργούν μόνο για επιφάνειες ενσωματωμένες σε τρισδιάστατο χώρο.
